数据分析｜什么是预期尾部损失？

当我们通过观测最坏的5%的情况来评估尾部风险时，VaR是所有这些情况中收益率最高(损失最小)的。

一个对损失敞口头寸更加现实的观点是:关注最坏情况发生条件下的预期损失。

这样的一个值有两个名称 : 预期损失(expected shortfall，ES)或条件尾部期望(conditional tail expectation，CTE)，后者强调了其与左尾分布之间的密切关系。

在这里，我们使用预期损失这一名称。

我们对前一节VaR的例子进行拓展，我们假设每一个样本点发生的概率相同。

因此，我们需要求最底部的5的观测的平均值。

和前面的插值过程一样，我们给最底部的4个值的权重为4/4.2，而给第5个值的权重为0.2/4.2，这样可以求得ES=-35.94%，显著小于VaR的值-25.56%。

注:JonathanTreussard给出了正态分布下ES的一个公式
("TheNonmonotonicityofValue-at-RiskandtheValidityofRiskMeasuresoverDifferentHorizons"，IFCAIJournalofFinancialRiskManagement，March2007)。其公式为

其中为连续复利计算的收益率的均值，其标准差，N()为标准正态分布的累计分布函数，F是其逆函数。
在上面的例子中，和的估计值分别为5.47%和19.54%。
正态分布假设下，我们有，这表明这一分布相比于正态分布有更大的左尾值。
需要注意的是，虽然VaR和ES都是利用历史样本估计的无偏估计值，但是仍然可能包含很大的估计误差。