一、定义

二叉排序树又称二叉搜索树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树。

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它根结点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它根结点的值。
它的左右子树也为分别为二叉排序树。

二、二叉排序树的查找

算法思路：
1、比较当前需要查找的key值是否为根结点的值，如果是，则将根结点返回；
2、当前key值比根结点的值小，则递归查找根结点的左孩子；
3、当前key值比根结点的值大，则递归查找根结点的右孩子；
4、重复2-3，直到找到等于key值的结点，或者所有结点都找完了都不存在等于key值的结点。

//1.二叉排序树--查找
Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f, BiTree *p){
    //若结点不存在，则将*p指向父结点
    if(T == NULL){
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    //找到结点，则将*p指向该结点
    if(T->data == key){
        *p = T;
        return TRUE;
    }
    else if(T->data > key){
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    }
    else if(T->data < key){
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
    }
    return TRUE;
}

三、二叉排序树的插入

算法思路：
1、先查找二叉排序树，若二叉排序树中已经存在该结点，则插入失败；
2、若二叉排序树中不存在对应key值的结点，则比较搜索到的父结点的值；
3、若key值小于父结点的值，则将新结点插入到父结点的左边，作为父结点的左孩子；
4、若key值大于父结点的值，则将新结点插入到父结点的右边，作为父结点的右孩子；

//2.二叉排序树-插入
Status InsertBST(BiTree *T, int key) {
    BiTree p;
    //查找是否该key值已经存在，若存在，则无需插入
    BOOL isExist = SearchBST(*T, key, NULL, &p);
    if(isExist){
        return FALSE;
    }
    
    //当需要插入时，先new一个结点，将结点的值赋值为key。
    BiTNode* n = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    n->data = key;
    n->lchild = NULL;
    n->rchild = NULL;
    
    //因为p始终为父结点，当根结点都不存在时，则会出现p为null
    if(p == NULL){
        *T = n;
    }
    else if(key < p->data){//当key小于p的值时，则key对应的结点为左孩子
        p->lchild = n;
    }
    else if(key > p->data){//当key大于p的值时，则key对应的结点为右孩子
        p->rchild = n;
    }
    return TRUE;
}

三、二叉排序树的删除

算法思路：
删除共有3种情况：

叶子结点；
解决方案：直接删除。
只有左孩子或只有右孩子的结点；
解决方案：直接删除结点，重边它的左子树或右子树。
既有左孩子又有右孩子的结点；
解决方案：

找到欲删除结点p的直接前驱（可通过中序遍历得到）s结点。
用s结点来替换p结点。
然后再删除p结点。

image.png

//3.从二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或者右子树;
Status Delete(BiTree *p){
    if(*p == NULL) return FALSE;
    BiTree q,s;
    /*
     删除结点总共3种情况
     1、叶子结点
     2、只有左孩子或者只有右孩子
     3、既有左孩子又有右孩子
     算法思路：
     叶子结点，直接删除；
     当只有左孩子时，只需将左孩子接到当前结点的位置即可；
     当只有右孩子时，只需将右孩子接到当前结点的位置即可；
     
     */
    if((*p)->rchild == NULL){//若右子树为空，则将该结点删除后，直接将左孩子替换当前结点
        q = *p;
        *p = (*p)->lchild;
        free(q);
    }
    else if((*p)->lchild == NULL){
        q = *p;
        *p = (*p)->rchild;
        free(q);
    }
    else{
        q = *p;
        s = (*p)->lchild;
        while(s->rchild){//找到欲删除结点的直接前驱
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        (*p)->data = s->data;//找到替换点，将欲删除结点的值替换成替换点的值
        if(q!=*p){
            q->rchild = s->lchild;//重接q的右子树
        }
        else{
            q->lchild = s->rchild;//重接q的左子树
        }
        free(s);
    }
    
    return TRUE;
}

//4.查找结点,并将其在二叉排序中删除;
/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key){
    if(*T == NULL) return FALSE;
    
    BiTree p;
    BOOL isExist = SearchBST(*T, key, NULL, &p);
    if(!isExist) return FALSE;
    
    //若key为当前结点，则将当前结点删除
    if((*T)->data == key){
        Delete(T);
    }
    else if((*T)->data>key){//若key小于当前结点，则左孩子递归找到需要删除的结点
        DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
    }
    else{//若key大于当前结点，则右孩子递归找到需要删除的结点
        DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
    }
    return TRUE;
}