梯度下降法

在寻找代价函数最小值时，我们通常使用梯度下降法（Gradient）来进行寻找

如：对于代价函数 J(θ0, θ1)

我们通过梯度下降的算法为：

j = 0 或 1

其中 := 在数学上是赋值的意思，与计算机中的 = 等价

梯度下降的主要思想就是对于不同的 θj 都进行尝试，一小步一小步地下降，直到找到最小值

通过不断地对 θj 进行赋值，直至算法收敛，我们可以找到 θ0 和 θ1 的局部最优解（极小值）

α代表了学习速率，控制了对于 θj 的更新幅度

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对于梯度下降法来说，α (值为正)与偏导数相乘，相当于一个人在下山的过程

如下图：

这里的代价函数只包含一个参数 θ

因为这是对于单个参数的代价函数的算法，所以偏导数变成了导数，不过不会有实质性的差别。当 θ1 处于右边时，此时的导数值为正，此时 θ1 是减去一个正值，θ1 会左移，而当 θ1 处于左侧时，此时导数值为负，此时 θ1 是减去一个负值，会向右移。因此无论 θ1 是处于何处，它都会逼近于极小值（若非单调递减）。若是为了求代价函数的最大值，仅需将式子中的 “ - ” 改成 “ + ” 即可。

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在 θ1 不断逼近与最小值的过程中，如果α的值设置没有过大或者过小，那么θ的变化应该如下图（不断逼近极小值但不跨过极小值），因为约接近极小值，偏导数（此处为导数）的值就越接近0，那么每次减去的值就越少，那么变化过程应该如下图：

合理的 α

最终 θ1 的值会达到极小值并不再改变，因为此时（偏）导数为0，不会有新的值产生

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如果 α 的值设置得过小，那么逼近的过程将会非常慢，尤其是离得越近，逼近越慢（原因如上）

过小的 α

如果设置的过大，那么有可能不仅无法逼近最小值，甚至会不断地远离最小值，因为过大时，可能下一次的点的偏导数比这次还大，会导致下一步的步长更长，恶性循环，如下图

过大的 α

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注意：在对 θj (j=1,2……n)迭代赋值的过程中，在迭代赋值的过程中，参数的值不应该改变，而是应该在遍历完之后，统一改变（先存在一个临时变量中），如图：

右边的错在θ0被更新后立即参与了本轮的赋值