函数\极限\连续

其实第一章主要就是个极限.连续不连续的也是在讨论极限,数列极限也是在讨论极限,无穷小比阶也是在讨论极限.后续的导数也是在讨论极限

整个函数全部是在讨论极限.

由极限的存在与否的讨论延伸出了有界

数列极限

常见方法

1. 将所求数列极限转化为求函数极限,然后利用洛必达法则计算.--根据是海涅定理,归一性.

2. 利用夹逼准则,定积分求和公式极限

3. 当数列以递推形式给出(为什么是递推形式呢?)可以利用单调有界必收敛证明收敛并求极限.

第一种其实就是普通的函数极限形式了

第二种转化为与之相近的定积分加和形式,利用定积分定义去计算

说说第三点吧,主要考察的在这一张是第三种方法.

其实也比较套路

分两步,第一步去证明有界并把界约摸估出来,第二步是证明单调.第三步是根据单调有界证明存在极限,并求出极限

先说为什么第一步证明有界,以及如何求出来的有界

首先第一步先证明有界是为了用于下面单调判断,以及给我们最直观的一个判断,到底是增还是减.

如何证明有界?

一般有两种,一种是利用不等式,基本不等式一类的,一下子证明除了是有界的.并大概能给出极限.另一种是需要用数学归纳法.

证明单调的话,也是,要么用递推公式,要么用数学归纳

最后第三步给出极限的存在

可以先假装求一下第三步拿到A也就是在有界的时候.

求函数极限

我想,不必多说什么了

硬功夫

第一步判定出属于七种未定式的哪一种

最基本的未定式是0/0和∞/∞,这个时候直接化简,将极限为非零因子的那部分求出来然后用等价无穷小替换,分子分母有理化,然后再进一步进行比阶

剩下的五种,"∞-∞","0*∞","1^∞","00","∞^0"等都可以转化为最基本的两种形式

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这里∞-∞的减形式 就可以轻易通分,然后归化为两种基本形式

而剩下的三种幂指函数都可以通过对数形式化成0.∞再次以倒数形式化成基本形式

这一章基本那就是泰勒公式的狂欢

无穷小的比较

还是比阶

就是值得注意的就是不定积分函数中求无穷小极限时,首先可以先等价代还再代入求导或是比阶.

连续间断

都知道讨论分段函数的断点,都知道要讨论左右继续极限

怕的是隐性的分段函数

比如P11T49

一个关于x的函数,在n趋近于无穷时,讨论以x为底,2n和2n-1为指数的函数的连续性.

实际上是一个分段函数,当x的绝对值大于1,直接趋于无穷比无穷,小于1变成0/0只有等于1才是1/1.非常有意思的伪装.

实际上所有题目都是围绕着我们已知的学过的思路展开,就是穿一些伪装

比如穿上积分,穿上导数,穿上幂指函数的衣服,但我们还是要拔的下来这些然后回归到我们已学过的概念上,进行翻译和转化.