一、问题

给定一个 haystack 字符串和一个 needle 字符串，在 haystack 字符串中找出 needle 字符串出现的第一个位置(从 0 开始)。如果不存在，则返回 -1。当 needle 是空字符串时应当返回 0 。

1️⃣示例 1：输入：haystack = "hello"，target = "ll"输出：2

2️⃣示例 2：输入：haystack = "aaaaa"，target = "bba"输出：-1

二、解答

关键词：滑动窗口

子串逐一比较的解法最简单，将长度为 L 的滑动窗口沿着 haystack 字符串逐步移动，并将窗口内的子串与 needle 字符串相比较，时间复杂度为 O((N - L)L)。

显示上面这个方法是可以优化的。双指针方法虽然也是线性时间复杂度，不过它可以避免比较所有的子串，因此最优情况下的时间复杂度为 O(N)，但最坏情况下的时间复杂度依然为 O((N - L)L)。有 O(N) 复杂度的解法嘛？答案是有的，有两种方法可以实现：

1. Rabin-Karp，通过哈希算法实现常数时间窗口内字符串比较。
2. 比特位操作，通过比特掩码来实现常数时间窗口内字符串比较。

1️⃣方法一：子串逐一比较 - 线性时间复杂度
最直接的方法 - 沿着字符换逐步移动滑动窗口，将窗口内的子串与 needle 字符串比较。

class Solution {
  public int strStr(String haystack, String needle) {
    int L = needle.length(), n = haystack.length();

    for (int start = 0; start < n - L + 1; ++start) {
      if (haystack.substring(start, start + L).equals(needle)) {
        return start;
      }
    }
    return -1;
  }
}

①时间复杂度：O((N - L)L)，其中 N 为 haystack 字符串的长度，L 为 needle 字符串的长度。内循环中比较字符串的复杂度为 L，总共需要比较 (N - L) 次。
②空间复杂度：O(1)。

2️⃣方法二：双指针 - 线性时间复杂度
上一个方法的缺陷是会将 haystack 所有长度为 L 的子串都与 needle 字符串比较，实际上是不需要这么做的。

首先，只有子串的第一个字符跟 needle 字符串第一个字符相同的时候才需要比较。 其次，可以一个字符一个字符比较，一旦不匹配了就立刻终止。 如下图所示，比较到最后一位时发现不匹配，这时候开始回溯。需要注意的是，pn 指针是移动到 pn = pn - curr_len + 1 的位置，而 不是 pn = pn - curr_len 的位置。 这时候再比较一次，就找到了完整匹配的子串，直接返回子串的开始位置 pn - L。

算法

1. 移动 pn 指针，直到 pn 所指向位置的字符与 needle 字符串第一个字符相等。
2. 通过 pn，pL，curr_len 计算匹配长度。
3. 如果完全匹配（即 curr_len == L），返回匹配子串的起始坐标（即 pn - L）。
4. 如果不完全匹配，回溯。使 pn = pn - curr_len + 1， pL = 0， curr_len = 0。

class Solution {
  public int strStr(String haystack, String needle) {
    int L = needle.length(), n = haystack.length();
    if (L == 0) return 0;

    int pn = 0;
    while (pn < n - L + 1) {
      // find the position of the first needle character
      // in the haystack string
      while (pn < n - L + 1 && haystack.charAt(pn) != needle.charAt(0)) ++pn;

      // compute the max match string
      int currLen = 0, pL = 0;
      while (pL < L && pn < n && haystack.charAt(pn) == needle.charAt(pL)) {
        ++pn;
        ++pL;
        ++currLen;
      }

      // if the whole needle string is found,
      // return its start position
      if (currLen == L) return pn - L;

      // otherwise, backtrack
      pn = pn - currLen + 1;
    }
    return -1;
  }
}

①时间复杂度：最坏时间复杂度为 O((N - L)L)，最优时间复杂度为 O(N)。
②空间复杂度：O(1)。

3️⃣方法三： Rabin Karp - 常数复杂度
有一种最坏时间复杂度也为 O(N) 的算法。思路是这样的，先生成窗口内子串的哈希码，然后再跟 needle 字符串的哈希码做比较。

这个思路有一个问题需要解决，如何在常数时间生成子串的哈希码？

滚动哈希：常数时间生成哈希码

生成一个长度为 L 数组的哈希码，需要 O(L) 时间。

如何在常数时间生成滑动窗口数组的哈希码？利用滑动窗口的特性，每次滑动都有一个元素进，一个出。

由于只会出现小写的英文字母，因此可以将字符串转化成值为 0 到 25 的整数数组： arr[i] = (int)S.charAt(i) - (int)'a'。按照这种规则，abcd 整数数组形式就是 [0, 1, 2, 3]，转换公式如下所示。 可以将上面的公式写成通式，如下所示。其中 ci 为整数数组中的元素，a = 26，其为字符集的个数。 下面来考虑窗口从 abcd 滑动到 bcde 的情况。这时候整数形式数组从 [0, 1, 2, 3] 变成了 [1, 2, 3, 4]，数组最左边的 0 被移除，同时最右边新添了 4。滑动后数组的哈希值可以根据滑动前数组的哈希值来计算，计算公式如下所示。 写成通式如下所示。

如何避免溢出

a^La
L
可能是一个很大的数字，因此需要设置数值上限来避免溢出。设置数值上限可以用取模的方式，即用 h % modulus 来代替原本的哈希值。

理论上，modules 应该取一个很大数，但具体应该取多大的数呢? 详见这篇文章，对于这个问题来说 2^{31}2
31
就足够了。

算法

计算子字符串 haystack.substring(0, L) 和 needle.substring(0, L) 的哈希值。

从起始位置开始遍历：从第一个字符遍历到第 N - L 个字符。

根据前一个哈希值计算滚动哈希。

如果子字符串哈希值与 needle 字符串哈希值相等，返回滑动窗口起始位置。

返回 -1，这时候 haystack 字符串中不存在 needle 字符串。

class Solution {
  // function to convert character to integer
  public int charToInt(int idx, String s) {
    return (int)s.charAt(idx) - (int)'a';
  }

  public int strStr(String haystack, String needle) {
    int L = needle.length(), n = haystack.length();
    if (L > n) return -1;

    // base value for the rolling hash function
    int a = 26;
    // modulus value for the rolling hash function to avoid overflow
    long modulus = (long)Math.pow(2, 31);

    // compute the hash of strings haystack[:L], needle[:L]
    long h = 0, ref_h = 0;
    for (int i = 0; i < L; ++i) {
      h = (h * a + charToInt(i, haystack)) % modulus;
      ref_h = (ref_h * a + charToInt(i, needle)) % modulus;
    }
    if (h == ref_h) return 0;

    // const value to be used often : a**L % modulus
    long aL = 1;
    for (int i = 1; i <= L; ++i) aL = (aL * a) % modulus;

    for (int start = 1; start < n - L + 1; ++start) {
      // compute rolling hash in O(1) time
      h = (h * a - charToInt(start - 1, haystack) * aL
              + charToInt(start + L - 1, haystack)) % modulus;
      if (h == ref_h) return start;
    }
    return -1;
  }
}

①时间复杂度：O(N)，计算 needle 字符串的哈希值需要 O(L) 时间，之后需要执行 (N - L) 次循环，每次循环的计算复杂度为常数。
②空间复杂度：O(1)。