线性代数(二)矩阵

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-25 00:00 被阅读0次

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一、矩阵的定义及基本运算

1、矩阵的定义

由m×n个矩数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 排成的m行n列的矩形表格
$\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right]$
称为一个m×n矩阵，简记为A或 $(a_{i j})_{m×n} (i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ .当m=n时，称为n阶方阵，

两个矩阵 $A= (a_{i j})_{m×n}$ 和 $B=(b_{i j})_{s×k}$ 若m=s，n=k，则称A与B为同型矩阵

2、矩阵的基本运算

1.2.1 相等

$\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}=\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{s \times k} \Leftrightarrow m=s, n=k$ , 且 $a_{i j}=b_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 即A，B是同型矩阵，且对应的元素相等

1.2.2 加法

两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即
$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}+\left(b_{i j}\right)_{m \times n}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}$

其中， $c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 即对应元素的相加

1.2.3 数乘矩阵

设k是一个数,A是一个m×n矩阵.数k和A的乘积称为数乘矩阵,即
$k \boldsymbol{A}=A k=k\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1 n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{m 1} & k a_{m 2} & \cdots & k a_{n n}\end{array}\right]$

即A的每个元素都乘以k.

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算,满足下列运算规律:

交换律：A+B=B+A;
结合律：(A+B)+C=A+(B+C);
分配律：k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA;
数和矩阵相乘的结合律：k(lA)=(kl)A=l(kA).

其中,A,B,C是同型矩阵,h,l是任意常数.

1.2.4 矩阵的乘法

设A是m×s矩阵,B是s×n矩阵(矩阵A的列数必须与矩阵B的行数相等),则AB可乘,乘积AB是m×n矩阵,记 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}$ 。C的第i行第j列元素c是A的第i行的s个元素与B的第j列的s个对应元素两两乘积之和,即

$c_{i j}=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i b} b_{s j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$

以下三个等式一般情况下不成立

$\boldsymbol{AB}\ne \boldsymbol{BA}$

$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}\nRightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}\text{或}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$

$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC,A}\ne \boldsymbol{O}\nRightarrow \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$

1.2.5 转置矩阵

将m×n矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{i j})_{m×n}$ 的行与列互换得到的n×m矩阵,称为矩阵A的转置矩阵，记为 $A^T$

转置矩阵满足下列运算规律
$\left( \boldsymbol{A}^{\text{T}} \right) ^{\text{T}}=\boldsymbol{A}$
$\left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right) ^{\text{T}}=\boldsymbol{A}^{\text{T}}+\boldsymbol{B}^{\text{T}}$
$\left( \alpha \boldsymbol{A} \right) ^{\text{T}}=\alpha \boldsymbol{A}^{\text{T}}$
$\left( \boldsymbol{AB} \right) ^{\text{T}}=\boldsymbol{B}^{\text{T}}\boldsymbol{A}^{\text{T}}$

1.2.6 向量的内积与正交

内积：设 $\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}=\left[b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right]^{\mathrm{T}}$ ,则称

$\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}$

为向量α,β的内积,记作(α,β)，即 $(\alpha, \beta) = \alpha \beta^T$

正交：当 $\alpha \beta^T=0$ 时，称α,β为正交向量
模： $\|\boldsymbol{\alpha}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}}$ 称为向量α的模， $\|\boldsymbol{\alpha}\|=1$ 时，称α为单位向量
标准正交向量组：若列向量组 $\alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 满足

$\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{j}=\left\{\begin{array}{ll}0, & i \neq j, \\ 1, & i=j\end{array}\right.$

则称 $\alpha_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 为标准或单位正交向量组

1.2.7 施密特标准正交化过程

线性无关向量组 $α_1 ,α_2$ 的标准正交化(又称正交规范化)公式为
$\left. \begin{array} { l } { \beta _ { 1 } = \alpha _ { 1 } } \\ { \beta _ { 2 } = \alpha _ { 2 } - \frac { ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } ) } { ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) } \beta _ { 1 } } \end{array} \right.$
得到的 $\beta_1,\beta_2$ 是正交向量组。

将 $\beta_1,\beta_2$ 单位化，得
$\boldsymbol{\eta}_{1}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{1}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{1}\right\|}, \quad \boldsymbol{\eta}_{2}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{2}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{2}\right\|}$
则 $\eta_1,\eta_2$ 是标准正交向量组

1.2.8 方阵成绩的行列式

设A，B是同阶方阵，则
$|A \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

1.2.9 几种重要的矩阵

1.2.9.1 零矩阵

每个元素均为零的矩阵,记为O.

1.2.9.2 单位矩阵

主对角元素均为1,其余元素全为零的n阶方阵,称为n阶单位矩阵,记成E

1.2.9.3 对角矩阵

只有主对角线上元素不为0的矩阵

1.2.9.4 对称矩阵

$\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}$

1.2.9.5 反对称矩阵

$\boldsymbol{A}^T=-\boldsymbol{A}$

1.2.9.6 正交矩阵

$\boldsymbol{AA}^T=\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

对于r(A)=1的矩阵

A可以分解为一个列向量与一个行向量的乘积，A²=lA，l为主对角线的和，从而
$\boldsymbol{A}^n=l^{n-1}\boldsymbol{A}$

$\boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} a_1b_1& a_1b_2& a_1b_3\\ a_2b_1& a_2b_2& a_2b_3\\ a_3b_1& a_3b_2& a_3b_3\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{array} \right] \left[ \begin{matrix} b_1& b_2& b_3\\ \end{matrix} \right] =\boldsymbol{\alpha \beta }^T$

二、矩阵的逆

1、逆矩阵的定义

2.1.1 矩阵的逆

A,B是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,若AB=BA=E,则称A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,记作 $A^{-1}$

2.1.2 A可逆的充分必要条件

A可逆的充分必要条件是|A|≠0.当|A|≠0时,A可逆,且
$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$

2、逆矩阵的性质与重要公式

设A，B是同阶可逆矩阵，则
$\left( \boldsymbol{A}^{-1} \right) ^{-1}=\boldsymbol{A}$

$\left( k\boldsymbol{A} \right) ^{-1}=\frac{1}{k}\boldsymbol{A}^{-1},\,\,k\ne 0$

$(\boldsymbol{AB} )^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}$

$\left( \boldsymbol{A}^{\text{T}} \right) ^{-1}=\left( \boldsymbol{A}^{-1} \right) ^{\text{T}}$

$\left| \boldsymbol{A} \right|^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A|}}$

三、伴随矩阵

1、伴随矩阵的定义

将行列式|A|的 $n^2$ 个元素的代数余子式按如下形式排成的矩阵称为A的伴随矩阵,记作 $A^*$ ,即
$A^{*}=\left[\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{m}\end{array}\right]$
且有
$\boldsymbol{AA}^*=\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A|E}$

2、伴随矩阵的性质与重要公式

当 $|\boldsymbol{A}|\ne0$ 时有

$A^{*}=|A| A^{-1}, \quad A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}, \quad A=|A|\left(A^{*}\right)^{-1}$

$(k A)(k A)^{*}=|k A| E$

$A^{\mathrm{T}}\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{*}=\left|A^{\mathrm{T}}\right| E$

$A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{*}=\left|A^{-1}\right| E ;$

$A^{*}\left(A^{*}\right)^{*}=\left|A^{*}\right| E$

$\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{*}=\left(A^{*}\right)^{\mathrm{T}},\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}=\left(A^{*}\right)^{-1},(\boldsymbol{A B})^{*}=\boldsymbol{B}^{*} A^{*},\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A .$

四、初等变换与初等矩阵

1、初等变换

一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
互换矩阵中某两行(列)的位置;
将矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列).

以上三种变换称为矩阵的初等行(列)变换,且分别称为倍乘、互换、倍加初等行(列)变换.

2、初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

$E_i(k)$ (k≠0)表示单位矩阵E的第i行(或第i列)乘以非零常数k所得的初等矩阵.
$E_{ij}$ 表示单位矩阵E交换第行与第j行(或交换第i列与第j列)所得的初等矩阵.
定义: $E_{ij}(k)$ 表示单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)所得的初等矩阵.

3、初等矩阵的性质与重要公式

初等矩阵的转置仍然是初等矩阵
因为

$|E_{i}(k)|=k \neq 0, \quad| E_{i j}|=-1 \neq 0, \quad| E_{i j}(k) \mid=1 \neq 0$

故初等矩阵都是可逆矩阵，且
$\left[E_{i}(k)\right]^{-1}=E_{i}\left(\frac{1}{k}\right), \quad \boldsymbol{E}_{i j}^{-1}=E_{i j}, \quad\left[E_{i j}(k)\right]^{-1}=E_{i j}(-k)$

若A是可逆矩阵,则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积,即 $A=P_1P_2\cdots P_s$ ,其中 $P_1P_2\cdots P_s$ 是初等矩阵.
对n阶矩阵A进行初等行变换,相当于矩阵A左乘相应的初等矩阵.同样,对A进行初等列变换，相当于矩阵A右乘相应的初等矩阵.

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