解题思路：

给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, ..., Vm}，如果要组合成sum，那么我们有

      sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数{x1, x2, ..., xm}的所有可能个数。

[思路1]

当然我们可以采用暴力枚举，各个系数可能的取值无非是

    x1 = {0, 1, ..., sum / V1}, 

    x2 = {0, 1, ..., sum/ V2}

等等。

这对于硬币种类数较小的题目还是可以应付的，当硬币种类较多时就GG了，

而且这种方法的复杂度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * ...）

[思路2]

从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种硬币构成sum，

根据最后一个硬币Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，

xm分别取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，

换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm

              ...

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm

其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。

可是这又有什么用呢？

不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数

那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。

在上面的联合等式中：
当xn=0时，有多少种组合呢？

实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp[i-1][sum]种！

xn = 1 时呢，有多少种组合？

实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种;

xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。

所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。

所以:
dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0Vm] + dp[i-1][sum - 1Vm]+ dp[i-1][sum - 2Vm] + ... + dp[i-1][sum - KVm]; 其中K = sum / Vm
换一种更抽象的数学描述就是：

image.png

通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？

如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

    dp[i][0] = 1   // i = 0, 1, 2, ... , m

如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。

 如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0.

求解实际问题

题目描述

题目描述：现有硬币六种，分别为1元、5元、10元、20元、50元、100元，假设每种硬币数量均无限多，问用它们来凑够N元有多少种组合方式。

package 剑指offer;

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while (sc.hasNext()) {
            
            int n = sc.nextInt();
            int coin[] = { 1, 5, 10, 20, 50, 100 };
            
            // dp[i][j]表示用前i种硬币凑成j元的组合数
            long[][] dp = new long[7][n + 1];
            
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                dp[0][i] = 0; // 用0种硬币凑成i元的组合数为0
            }
            
            for (int i = 0; i <= 6; i++) {
                dp[i][0] = 1; // 用i种硬币凑成0元的组合数为1,所有硬币均为0个即可
            }
            
            for (int i = 1; i <= 6; i++) {
                
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    
                    dp[i][j] = 0;
                    for (int k = 0; k <= j / coin[i - 1]; k++) {
                        
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j - k * coin[i - 1]];
                    }
                }
            }
            
            System.out.print(dp[6][n]);
        }
        sc.close();
    }
    
}