退火算法
是一种启发式优化算法,灵感来源于金属退火过程。在金属退火中,将金属加热到高温然后逐渐冷却,以消除内部结晶缺陷,使其达到更稳定的状态。类比于优化问题,退火算法通过模拟这个过程,从一个高温状态开始,逐渐减小温度,使系统跳出局部最小值,最终趋向全局最优解。
基本思想:
- 初始化: 随机生成初始解。
- 温度控制: 引入温度参数,控制在一定范围内。
- 接受准则: 根据一定准则(如Metropolis准则),接受或拒绝新解。
- 降温策略: 逐渐降低温度,减小接受新解的概率。
- 收敛: 当温度足够低或者满足停止条件时,算法收敛,返回当前解。
算法流程:
- 初始化: 随机生成初始解 。
-
重复迭代过程:
a. 产生当前解的邻域解 。
b. 计算目标函数值差 。
c. 若 ,接受 作为新解;否则,以概率 接受 。
d. 更新当前解为 。
e. 降低温度 。
f. 重复直至满足停止条件。
示例:
考虑一个简单的旅行商问题(TSP),目标是找到一条路径,使得访问每个城市一次,总路径长度最短。
import numpy as np
# 生成城市坐标
np.random.seed(42)
num_cities = 10
cities = np.random.rand(num_cities, 2)
# 计算路径长度
def calculate_distance(path, cities):
distance = 0
for i in range(len(path) - 1):
distance += np.linalg.norm(cities[path[i]] - cities[path[i+1]])
distance += np.linalg.norm(cities[path[-1]] - cities[path[0]]) # 回到起点
return distance
# 退火算法
def simulated_annealing(cities, max_iterations=1000, initial_temperature=1000, cooling_rate=0.95):
num_cities = len(cities)
current_path = np.arange(num_cities)
np.random.shuffle(current_path)
current_distance = calculate_distance(current_path, cities)
best_path = np.copy(current_path)
best_distance = current_distance
temperature = initial_temperature
for iteration in range(max_iterations):
new_path = np.copy(current_path)
i, j = np.random.choice(num_cities, size=2, replace=False)
new_path[i], new_path[j] = new_path[j], new_path[i]
new_distance = calculate_distance(new_path, cities)
delta_distance = new_distance - current_distance
if delta_distance < 0 or np.random.rand() < np.exp(-delta_distance / temperature):
current_path = np.copy(new_path)
current_distance = new_distance
if current_distance < best_distance:
best_path = np.copy(current_path)
best_distance = current_distance
temperature *= cooling_rate
return best_path, best_distance
# 运行算法
best_path, best_distance = simulated_annealing(cities)
print("最优路径:", best_path)
print("最短路径长度:", best_distance)
在这个示例中,我们使用退火算法求解TSP问题。算法通过随机交换城市的顺序来生成新解,根据Metropolis准则接受或拒绝新解。随着温度的降低,接受概率减小,最终趋向全局最优解。
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