计算机科学导论-数字系统

引言

数字系统（数 码系统）定义了如何用独特的符号来表示一个数字。在不同的系统中有不同的表示方法。例如：(2A)₁₆ 和(52)₈都是指同样的数量(42)₁₀。
我们可以用符号来表示数字，但是我们的符号是有限的。需要重复并组合它们来创建单词。下面我们看看位置化数字系统，如何通过数字，位置来表示数字。

位置化数字系统

位置化数字系统中，在数字中符号所占据的位置决定了其表示的值。在该系统中，数字这样表示：

± ( S_k-1 S₂ S₁ S₀ . S_-1 S_-2 S_-l ) _b

它的值是：

n = ± S_k-1 × b^k-1 + + S_-1 × b^-1 + S_-2 × b^-2 + S_-l × b^-l

• S 是一套字符集。
• b 是底(或基数)，它等于S符号集中的符号总数，其中S_i指该符号的位置是i。
• b 的幂可以从一个方向由0到K-1，还可以从另一个方向由-1到-L。

十进制系统

在该系统中：

1. 底b = 10。
2. 用10个符号来表示一个数, 符号集S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

在十进制系统中，数字写为：

±(S_k-1 S₂ S₁ S₀ . S_-1 S_-2 S_-l)₁₀

整数（不带小数）

N = ± S_k-1 × 10^k-1 + S_k-2 × 10^k-2 + + S₂ × 10² + S₁ × 10¹ + S₀ × 10⁰

• 1. S_i 是一个数码。
• 2. b = 10 是底。
• 3. k 是数码的数量。

使用位置量

• 用10的幂表示十进制数字，下图显示了在十进制系统中使用位置量表示整数。

  
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例1 ：在十进制系统中使用位置量表示正整数+224

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由上图可知，+224是三位数需要三个位置量，
个数位(k=1) 4 = 4 × 10^0=1-1
十位数(k=2) 20 = 2 × 10^1=2-1
百位数200 = 2 × 10^2=3-1

例2 ：在十进制系统中使用位置量表示负整数-7508

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由上图可知，-7508是四位数需要四个位置量
个位数(k=1) 8 = 8 × 10^0=1-1
十位数(k=2) 0 = 0 × 10^1=2-1
百位数(k=3) 4 = 4 × 10^2=3-1
千位数(k=4) 7 = 7 × 10^3=4-1

二进制、八进制、十六进制都是上面的逻辑，不同点在于：

1. 底换成了2、8、16。

2. 符号变成了二进制：{0,1} ；八进制：{0,1,2,3,4,5,6,7}；十六进制：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

   
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四种位置化系统中的数字比较

四种位置化系统中的数字比较

进制转换

其他进制到十进制的转换

• 将数码乘以其在源系统中的位置量并求和便得到十进制中的数。思路如下图：

  
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例1 将二进制数 (110.11)₂ 转换为十进制数6.75

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例2 将十六进制数(1A.23)₁₆ 转换成十进制数26.137

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• 注意这个十进制数表示并不精确，因为3 × 16^-2=0.01171875。四舍五入成3位小数（0.012）也就是说3 × 16^-2≈0.012。数字转换时我们需要指明允许保留几位小数。

例3 将八进制数(23.17)₈ 转换为十进制数。

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• 在十进制中(23.17)₈ ≈ 19.234。再一次把7 × 8^-2 = 0.109375四舍五入。

十进制到其他进制的转换

• 十进制转换其他进制需要分成整数部分和小数部分。

整数部分 可使用连除

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• 我们称十进制数的整数部分为源，已转换号的整数部分的数为目标。我们先创建一个空目标。接着反复除源并得到商和余数。余数插入目标的左边，商变为新的源。如下图
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小数部分 可使用连乘

• 我们称十进制数的小数部分为源，已转换好的整数部分的数为目标。我们先创建一个空目标，接着反复乘源并得到结果。结果的整数部分插入目标的右边，而小数部分成为新的源如下图
  转换十进制的小数部分

• 每次重复中如何得到目标，过程如下图

  
  转换十进制的小数部分到其他进制

数码的数量

把数字从十进制转换到其他进制之前，我们需要通过k = [log_b^N]知道数码的数量。[x] 意味着最小的整数大于或等于x。也称为x的高限，N是该整数的十进制值。如下所示：

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二级制--十六进制转换

• 二进制中的4位恰好是十六进制中的1位，如下图

  
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二进制--八进制转换

• 二进制中的3位恰好是八进制中的1位

  
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八进制 -- 十六进制的转换

• 使用二进制系统为中介系统。

  
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步骤如下

• 从八进制到十六进制，先将八进制转到二进制。将位数重排成4位一组，找到十六进制的对等值。
• 从十六进制转到八进制，我们先将十六进制转到二进制。将位数重排成3位一组，找到八进制的对等值。

非位置化数字系统

非位置化数字系统仍然使用有限的数字符号，每个符号有一个值。但是符号所占用的位置通常与其值无关——每个符号都是固定的。
罗马数字是非位置化系统的好例子。

全文摘自《计算机科学导论》