算法复杂性

        算法是指对特定问题求解步骤的一种描述。
        算法具有以下特性。
        (1)有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。
        (2)确定性：每条语句有确定的含义，无歧义。
        (3)可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算实现。
        (4)输入输出：有零个或多个输入，一个或多个输出。
        “好”算法的标准如下。
        (1)正确性：正确性是指算法能够满足具体问题的需求，程序运行正常，无语法错误，能够通过典型的软件测试，达到预期的需求。
        (2)易读性：算法遵循标识符命名规则，简洁易懂，注释语句恰当适量，方便自己和他人阅读，便于后期调试和修改。
        (3)健壮性：算法对非法数据及操作有较好的反应和处理。
        (4)高效性：高效性是指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。算法时间复杂度就是算法运行需要的时间。我们一般用算法基本运算的执行次数来衡量算法的效率。
        (5)低存储性：低存储性是指算法所需要的存储空间低。算法占用的空间大小称为空间复杂度。

时间复杂度

        算法运行需要的时间，一般将算法的执行次数作为时间复杂度的度量标准。例子：

sum = 0;        //运行1次
total = 0;        //运行1次
for(i = 1; i <= n; i++) {        //运行n+1次
    sum = sum + i;        //运行n次
    for(j = 1; j <= n; j++)        //运行n*n+1次
        total = total + i * j;        //运行n*n次
}

        把算法的所有语句的运行次数加起来：1+1+n+1+n+n(n+1)+nn，可以用一个函数T(n)表示：

        当n足够大时，例如时，，我们可以看到算法运行时间主要取决于第一项，后面的甚至可以忽略不计。
        用极限表示为：

        如果用时间复杂度的渐进上界表示，如下图：

渐近时间复杂度上界

        从图中可以看出，当时，，当足够大时，和近似相等。因此，我们用来表示时间复杂度渐近上界，通常用这种表示法衡量算法时间复杂度。
        上面算法的时间复杂度渐近上界为，用极限表示为：

        还有渐近下界符号，如下图所示：

渐近时间复杂度下界

        从上图可以看出，当时，，当足够大时，和近似相等，因此，我们用来表示时间复杂度渐近下界。
        渐近精确界符号，如下图所示：

渐近时间复杂度精确界

        从上图可以看出，当时，，当足够大时，和近似相等。这种两边逼近的方式，更加精确近似，因此，用来表示时间复杂度渐近精确界。
        我们通常使用时间复杂度渐近上界来表示时间复杂度。
        观察以下算法，并分析算法的时间复杂度。

i = 1;        //运行1次
while(i <= n){        //可假设运行x次
    i = i * 2;        //可假设运行x次
}

        观察上面算法，无法立即确定while及i=i*2运行了多少次。这时可假设运行了x次，每次运算后i值为，当时结束，即时结束，则，那么算法的运算次数为，时间复杂度渐近上界为。
        在算法分析中，渐近复杂度是对算法运行次数的粗略估计，大致反映问题规模增长趋势，而不必精确计算算法的运行时间。在计算渐近时间复杂度时，可以只考虑对算法运行时间贡献大的语句，而忽略那些运算次数少的语句，循环语句中处在循环内存的语句往往运行次数最多，即为对运行时间贡献最大的语句。
        注意：不是每个算法都能直接计算运行次数。
        例如下面这个算法，在a[n]数组中顺序查找，返回其下标，如果没找到，则返回-1。

findx(int x) {        //在a[n]数组中顺序查找x
    for(i = 0; i < n; i++) {
        if(a[i] == x) {
            return i;
        }
        return -1;
    }
}

        我们很难计算以上程序到底执行了多少次，因为运行次数依赖于在数组中的位置，如果第一个元素就是，则执行了1次（最好情况）；如果最后一个元素是，则执行次（最坏情况）；如果分布概率均等，则平均执行次数为。
        有些算法，如排序、查找、插入等算法，可以分为最好、最坏和平均情况分别求算法渐近复杂度，但我们考察一个算法通常考察最坏的情况，而不是考察最好的情况，最坏情况对衡量算法的好坏具有实际意义。

空间复杂度

        算法占用的空间大小。一般将算法的辅助空间作为衡量空间复杂度的标准。
        空间复杂度的本意是指算法在运行过程中占用了多少存储空间。算法占用的存储空间包括：
        （1）输入/输出数据；
        （2）算法本身；
        （3）额外需要的辅助空间。
        输入/输出数据占用的空间是必须的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但这个压缩的量是很小的，可以忽略不计。而在运行时使用的辅助变量所占用的空间，即辅助空间是衡量空间复杂度的关键因素。
        例子：两数交换，分析其空间复杂度。

swap(int x, int y) {
    int temp;
    temp = x;        //temp为辅助空间
    x = y;
    y = temp;
}

        该算法使用了一个辅助空间temp，空间复杂度为；
        注意：递归算法中，每一次递归需要一个栈空间来保存调用记录，因此，空间复杂度需要计算递归栈的辅助空间。
        例子：计算的阶乘，并分析其空间复杂度。

fac(int n) {        //计算n的阶乘
    if(n < 0) {        //小于零的数无阶乘值
        printf("n<0, data error!");
        return -1;
    } else if(n == 0 || n == 1) {
        return 1;
    } else {
        return n * fac(n - 1);
    }
}

        阶乘是典型的递归调用问题，递归包括递推和回归。递推是将原问题不断分解成子问题，直到达到结束条件，返回最近子问题的解；然后逆向逐一回归，最终到达递推开始的原问题，返回原问题的解。
        试求5的阶乘，5的阶乘的递推和回归过程如下图：

阶乘的递推和回归

        上图的递推、回归过程是我们从逻辑思维上推理，用图的方式形象地表达出来的，计算机内部是怎样处理的呢？计算机使用一种称为“栈”的数据结构，如下图：

5阶乘的进栈过程 5阶乘的出栈过程

        从上图的进栈、出栈过程中，我们可以清晰地看到，首先把子问题一步步地压进栈，直到得到返回值，再一步步地出栈，最终得到递归结果。在运算过程中，使用了个栈空间作为辅助空间，因此阶乘递归算法的空间复杂度为。上面的阶乘算法的时间复杂度也为，因为的阶乘仅比的阶乘多了一次乘法运算，fac(n)=n*fac(n-1)。如果用表示fac(n)的时间复杂度，可表示为：

        常见的算法复杂度有以下几类。
        （1）常数阶
                常数阶算法运行的次数是一个常数，如5、20、100。常数阶算法时间复杂度通常用表示
        （2）多项式阶
                很多算法时间复杂度是多项式，通常用等表示。
        （3）指数阶
                指数阶时间复杂度运行效率极差。常见的有等。使用这样的算法要慎重。
        （4）对数阶
                对数阶时间复杂度运行效率较高，常见的有等。
        常见的时间复杂度函数曲线如下：

常见函数增量曲线

        从图中可以看出，指数阶增量随着的增加而急剧增加，而对数阶增加缓慢。它们之间的关系为：

        设计算法时要注意算法复杂度增量的问题，尽量避免爆炸级增量。