转自：http://blog.csdn.net/dongtingzhizi/article/details/16884215
关于linear regression，Andrew Ng老师的课程中介绍了两种方法：gradient descent（梯度下降法）和normal equation，《机器学习实战》中直接使用的normal equation及其改进方法，本文记录对着两种方法的学习笔记。
第一部分，Gradient Descent方法
上一篇博客总结的是Logistic Regresion 这一篇反过来总结linear regression，实际上这篇应该写在前面的。由于在上一篇中对regression问题的步骤、递归下降方法、向量化（vectorization）等都做了很详细的说明，在这一篇中将不再重复，需要的话可以回过头去看上一篇。
上一篇中介绍的regression问题的常规步骤为：1，寻找h函数（即hypothesis）；2，构造J函数（损失函数）；3，想办法是的J函数最小并求得回归参数（θ），下面一次看看这些步骤。
（一）h函数
每个训练样本有n个特征，例如Andrew Ng老师的课程中给的房价预测的例子，影响房价的因素有n个，如下图：
一般表示格式按如下约定，第i条样本的输入x(i)：
所有训练样本的输入表示为x，输出表示为y：
θ就是我们要求的回归参数，因为是线性回归，所以为没个特征x(i)添加一个参数θ(i)，所以h函数的形式如下：
为了公式表示方便，将x0设定为1，同时将所有θ表示成向量：
则有：
.
（二）J函数
linear regression中一般将J函数取成如下形式：
至于为什么取成该式，这里不进行深入的分析和推导，网上有一篇文章《Standford机器学习+线性回归CostFunction和Normal+equation的推导》进行了推导，可供参考。
（三）gradient descent
用梯度下降法求J(θ)的最小值，梯度下降法就是如下的过程（α表示学习率）：
对于上面给出的J(θ)，有：
所以θ的迭代公式为：
（四）其他问题
Feature scaling可以通俗的解释为：将不同特征的取值转换到差不多的范围内。因为不同特征的取值有可能有很大的差别（几个数量级），例如下图中的x1和x2差别就非常大。这样会带来什么后果呢？从左图中可以看出，θ1-θ2的图形会是非常狭长的椭圆形，这样非常不利于梯度下降（θ1方向会非常“敏感”，或者说来回“震荡”）。进行scaling处理后，不同特征的规模相似，因此右图中的θ1-θ2图形会近似为圆形，这样更加适合梯度下降算法。
scaling也有不同的方法：
（1）例如上图中就是用特征值除以该组特征的最大值；
（2）下图中的mean normalization方法（姑且称为“均值归一化”），即用特征值先减去该组特征的平均值，然后再除以该组特征的最大值；
（3）上面两种方法显然还不是最合理的，下图的底部给出的公式x(i) = (x(i) - u(i)) / s(i)，x(i)表示x的第i组特征（例如房屋面积，或者卧室数目等），u(i)表示第i组特征的均值，s(i)表示第i组特征的范围（最大值减最小值）或者标准差。
使用(3)中标准差的方法对前面的训练样本x矩阵进行归一化的代码如下：
vectorization是尽量多的使用矩阵计算尽量少的使用for循环，以简化计算过程，提高效率。vectorization的推导在上一篇logistic regression（http://blog.csdn.net/dongtingzhizi/article/details/15962797）中有详细的介绍，这里不再重复，结论是：对于前面约定的x，y和θ矩阵的格式，vectorization后的更新过程如下：
这样，不需要for循环，使用矩阵计算可以一次更新θ矩阵。
α的选取对于梯度下降法是非常关键的，选取合适的话J(θ)能顺利下降并最终收敛，如果选取不合适的话J(θ)可能下降非常缓慢，也有可能最终发散。
下图是J(θ)随迭代过程顺利下降的情况，图中还提到：可以声明当一次迭代后J(θ)减小的幅度小于某个阈值（如10e-10）时认为已经收敛，此时可以停止迭代过程。
下图是递归下降失败的情况，J(θ)未能随每次迭代顺利下降，说明α太大，当α充分小时，每一步迭代J(θ)都会下降的。所以，此时可以尝试减小α。
但是，当α过于小时，J(θ)会下降的非常缓慢，因此需要迭代更多次数才能达到效果，浪费计算资源。所以要选择合适的α值，太大太小都不合适。一般在训练样本时，多次尝试不同的α值，对比结果（可以绘制出J(θ)迭代的图形）后进行选择。Andrew Ng老师在课程中也给出了α尝试的方法：先选择一个较小的α值，收敛太慢的话以3倍来增加α值。
第二部分，Normal equation方法
因为gradient descent方法需要迭代很多次是的J(θ)达到最小值求得θ，自然而然的会有一种疑问：能不能不迭代，一次求得所需的θ呢？答案是肯定的，normal equation就是这样一种方法。关于normal equation，Andrew ng老师的课程中介绍的非常简单，几乎是直接给出了下面的公式。《机器学习实战》中也没有讲具体的推导，也是给出了该公式（P138页）。但是，二者都提到一个基本的数学原理，那就是当J(θ)对所有θj的偏导等于0时，J(θ)取最小值（高等数学中有当导数等于0时函数达到极值）。
《机器学习实战》中（P138页）提到对矩阵(y-Xw)T(y-Xw)求导，得到XT(y-Xw)，令其等于零可以解得上面的公式，这里我真心没有明白，求高手解释。
文章（http://www.cnblogs.com/elaron/archive/2013/05/20/3088894.html）中给出了一个推导过程，并没有提到求导并令导数等于零的原理，直接解出上面的公式，看着推导过程貌似合理，但总觉得不对，求高手解释。
网上的一篇文章《Standford机器学习+线性回归CostFunction和Normal+equation的推导》给出了推导过程，应该是靠谱的。
此时，真心觉得自己的线性代数太弱爆了，急需恶补啊！（等补补线性代数再回过头来看看吧）
正如Andrew ng老师所说，不管对该公式的推导过程理不理解，并不妨碍使用该公式进行Linear Regression处理。
（1）关于non-invertibility
当|XTX|=0时XTX是不可求逆矩阵的，如何使用normal equation呢？下面是Andrew ng老师的课程中给出的：
两种可能的解决方法：1.如果存在冗余的特征（冗余特征间存在线性依赖），去掉冗余特征；2.特征数量太大（m<=n，即样本数小于特征数），应该去掉一些特征或者使用regularization。regularization是一种消除overfitting的方法，Andrew ng老师的课程中有详细的介绍，使用了regularization的normal equation方法就不存在non-invertibility的问题了，貌似就是《机器学习实战》中介绍的局部加权线性规划方法。
《机器学习实战》中甚至介绍了更多的normal equation改进方法：局部加权线性规划，岭回归，lasso，前向逐步回归。功力不够，还没能好好理解，得继续努力啊！
总结
对比一下上面两种方法，下图是Andrew ng老师的课程中给出的：
总结一下二者的优缺点：
（1）gradient descent需要选择一个合适的学习率α，前面讲到过，要寻找一个合适的α的过程时比较繁琐的（绘制J(θ)的收敛趋势图进行对比）；
（2）gradient descent需要迭代很多次，而normal equation只需一次计算；
（3）当n（特征数）非常大时，gradient descent没有问题，但是normal equation的效率会非常低。解释一下：normal equation方法使用的是矩阵计算，上面公式中的(XTX)-1是计算一个(n*n)矩阵的逆，时间复杂度是O(n3)，所以当n非常大时，效率会非常低。Andrew ng老师说到，当n多大时使用gradient descent多大时使用normal equation，没有一个明确的分界线。当n较小时一般使用normal equation比较快捷方便，一般当n达到1000,000时，应该开始考虑gradient descent；
（4）我觉得还有一点也是比较突出的差别吧，gradient descent需要进行Feature scaling处理，而normal equation不用。
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