最长上升子序列(LIS)

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903
http://poj.org/problem?id=2533

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 1005
using namespace std;
int arr[maxn],ans[maxn],len,n;
int lowerBound(int val)//ans[pos]>=val
{
    int l=0,r=len,mid;
    while(l<r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(ans[mid]>=val) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}
int main()
{
        int i,pos;
        len=1;
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",arr+i);
        ans[len]=arr[1];
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
           if(arr[i]>ans[len])
           {
               ans[++len]=arr[i];
           }
           else
           {
               pos=lowerBound(arr[i]);
               ans[pos]=arr[i];
           }
        }
        printf("%d\n",len);
        return 0;
}

动态规划的写法：O(n^2)

#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 1005
#define Max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;
int arr[maxn],dp[maxn];
int main()
{
        int i,j,ans=0,n,val;
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",arr+i);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            val=arr[i];
            for(j=1;j<i;j++)
            {
               if(arr[j]<val) dp[i]=Max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=Max(dp[i],ans);
        }
        printf("%d\n",ans+1);
        return 0;
}