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最长上升子序列(LIS)

最长上升子序列(LIS)

作者: Gitfan | 来源:发表于2017-03-16 20:23 被阅读0次

    假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n
    下面一步一步试着找出它。
    我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
    此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
    首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
    然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
    接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2
    再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2
    继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
    第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
    第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
    第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
    最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
    于是我们知道了LIS的长度为5。
    !!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。
    然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

    http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903
    http://poj.org/problem?id=2533

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #define maxn 1005
    using namespace std;
    int arr[maxn],ans[maxn],len,n;
    int lowerBound(int val)//ans[pos]>=val
    {
        int l=0,r=len,mid;
        while(l<r)
        {
            mid=(l+r)>>1;
            if(ans[mid]>=val) r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        return l;
    }
    int main()
    {
            int i,pos;
            len=1;
            scanf("%d",&n);
            for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",arr+i);
            ans[len]=arr[1];
            for(i=2;i<=n;i++)
            {
               if(arr[i]>ans[len])
               {
                   ans[++len]=arr[i];
               }
               else
               {
                   pos=lowerBound(arr[i]);
                   ans[pos]=arr[i];
               }
            }
            printf("%d\n",len);
            return 0;
    }
    

    动态规划的写法:O(n^2)

    #include<cstdio>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    #define maxn 1005
    #define Max(a,b) a>b?a:b
    using namespace std;
    int arr[maxn],dp[maxn];
    int main()
    {
            int i,j,ans=0,n,val;
            scanf("%d",&n);
            for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",arr+i);
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
                val=arr[i];
                for(j=1;j<i;j++)
                {
                   if(arr[j]<val) dp[i]=Max(dp[i],dp[j]+1);
                }
                ans=Max(dp[i],ans);
            }
            printf("%d\n",ans+1);
            return 0;
    }
    

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