874. “栏杆错误”——算法进阶必须跨越的门槛

在所有常见的程序设计错误中，最难以察觉的一类是“栏杆错误”，也常被称为“差一错误”（off-by-one error）。七镜在程序设计中，最头疼的莫过于攻克算法了，一提起来，立马就是一把辛酸泪呀！

先上两个通用原则：

1. 首先考虑最简单情况下的特例，然后将得到的结果外推，这是原则一。
2. 仔细计算边界，绝不掉以轻心，这是原则二。

技术背景，这次就不提了，直接上编程技巧：

一言以蔽之：用第一个入界点和第一个出界点来表示一个数值范围。具体而言，（以一个问题为引子：假定整数 x 满足边界条件 x >= 16 且 x<= 37，那么此范围内 x 的可能取值个数有多少？）我们不应说整数满足 x 满足边界条件 x>=16 且 x <= 37，而是说整数 x 满足边界条件 x >= 16 且 x < 38。注意，这里下界是“入界点”，即包括在取值范围之中；而上界是“出界点”，即不包括在取值范围之中。

1. 取值范围的大小就是上界与下界之差。38 - 16 的值是 22，恰恰是不对称边界 16 和 38 之间所包括的所有元素数目。
2. 如果取值范围为空，那么上界等于下界。这是第一条的直接推论。
3. 即使取值范围为空，上界也永远不可能小于下界。

附加：

1. 将上界和下界转换为等效值。（比如：假定整数 x 满足边界条件 x >= 15.3 且 x <= 36.7，那么此范围内 x 的取值个数有多少？转换为 x >= 16 且 x < 37）
2. 确定步长。（比如：100 英尺长的围栏每隔 10 英尺需要一根支撑用的栏杆，共需要多少根栏杆呢？这里步长就是10，即将原本 x >= 0 且 x<=100 转换为 110 / 10 - 0 这里之所以是 110 而不是 100 是因为 110 是下界等效值；如果题中给定的是 101 英尺长，那这里就是 120，因为 100 到 101 需要一根栏杆 等效于 100 到 110 需要一根栏杆。然后 110 加上步长 10，就等于 120 了。）