什么是优化算法
优化算法要求解的，是一个问题的最优解或者近似最优解。在机器学习中，有很多问题都是优化问题，即我们要求出输入特征和标签之间的映射关系，并且我们一定是期望，通过这个映射关系得到的标签结果，和实际标签之间的误差最小。
机器学习中，优化算法有很多种，最基本的，也是应用非常广泛的，就是梯度上升/下降，此外还有遗传算法等。
什么是梯度下降
当我们得到一个目标函数之后，如何求解它的参数？直接求解？并不一定可解，线性回归算是一个特例（使用最小二乘法求解）。
梯度上升/下降，是机器学习中求解无约束优化问题时，最常用的方法之一。
它的套路是，喂给机器一堆数据，告诉它什么样的方式是对的（目标函数），然后让它自己朝着这个方向去做。
那么怎么知道【方向】呢？这个方向，就是我们说的梯度。在微积分里边，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的偏导数用向量表示出来，就是梯度。沿着梯度的方向，函数值的变化最快。
所以，如果我们要求损失函数的最大值，就采用梯度上升的方法，沿着梯度方向一步步迭代，得到最大值；反之，如果我们要求损失函数的最小值，就采用梯度下降，沿着梯度的反方向，一步步迭代，得到最小值。
所以，梯度下降法，就是一个用于【寻找最小化损失函数的参数值】的【最优化算法】。
梯度下降的视觉直观解释
我们把下面的图形，想象成两座山，假设我们站在【Initial Condition】这个山顶点，我们想下到山的最底部，但是不知道往哪个方向走最快。于是我们每走一步，都计算一下当前所在位置的梯度，即最陡峭、下山最快的方向，然后沿着这个方向走。这样走一步算一步，最终就走到了山底。这就是梯度下降法，它的要点是：【梯度】和【迭代】，即沿着函数值变化最快的方向，每走一步，计算一次，不断迭代，从而找到最优解。
梯度下降
当然按照梯度下降法走下去，我们不一定走到了两座山的最低点（图中的Global Minimum），而是走到了一个局部最低点（图中次低点）。所以梯度下降法得到的不一定是全局最优解，而是局部最优解。
不过机器学习中我们遇到的很多损失函数，都是凸函数，如线性回归对应的就是凸函数。如果只有一个特征变量，凸函数的形状类似于下面的图形，分别为下凸和上凸：
如果有两个特征变量，则类似于下面这个碗的造型。如果是凸函数，采用梯度上升/下降法，得到的一定是全局最优解。
最小二乘法和梯度下降法的关系
最小二乘法的目标是，求解最小误差平方和，有两种形式：线性和非线性；线性的解可以直接用数学方法推导出来，也可以用迭代的方法求解；非线性的解，需要用迭代的方法求解。
梯度下降法是一种迭代求解的方法，可以用来求解最小二乘问题（线性和非线性的都可以）。
梯度下降相关概念
1. 步长：在神经网络中也叫学习速率（Learning Rate），步长决定了在在梯度下降迭代过程中，每一步沿着梯度负方向前进的长度。
2. 损失函数：也叫成本函数；用来度量拟合的程度，损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优解。损失函数的定义如下：
损失函数
其中m代表样本数量，1/m是为了平均化，因为如果m=100，右边的平方和所得结果，肯定比m=1000的时候小很多，但这并不能代表m=100的时候计算所得参数值要优于m=1000的时候的参数值。所以这里取平均值，消除这个影响。
特征数据归一化
样本的特征取值范围可能都不一样，这可能导致迭代速度很慢。但是不能因为想要加速下降速度，就把下降步伐调整过大，否则找到函数最小值的速度反而容易变慢，出现overshoot the minimum的现象，即如下图所示：
overshoot the minimum
为了加快迭代速度，我们可以采用Feature Scaling的方法，对特征数据进行归一化处理，来加速下降的执行速度。即将各个特征值标准化，使他们的取值范围都在（-1,1）之间。这样迭代速度会大大加快。
常用的方法是均值归一化（Mean Normalization），即：
均值归一化
或者求标准分（Standard Score），即：
标准化
算法流程
-
初始化：初始化θ参数，步长α，终止距离ε
-
循环操作：
2.1 计算当前位置的损失函数对应的梯度，通过求损失函数的偏导获得：
2.2 步长 * 损失函数的梯度 = 当前位置下降的距离；
2.3 判断是否所有的θ参数，梯度下降的距离都小于ε，如果是，则算法终止；否则进入下一步；
2.4 更新所有θ参数，更新表达式如下：
-
输出最优解
梯度下降的三种方式
批量梯度下降法 BGD（Batch Gradient Descent）
批量梯度下降法，即在计算梯度时，使用所有的样本数据来计算。如果我们有m个样本，求梯度的时候，就用到m个样本的梯度数据。
这种方法容易得到最优解。但是每次都要考虑所有的样本数据，迭代速度非常慢。尤其是在样本数据量巨大的时候。
随机梯度下降法 SGD（Stochastic Gradient Descent）
和批量梯度下降法的区别，仅仅在于，在求梯度时，没有用到所有样本的数据，而是随机选取其中一个样本来计算梯度。
这种方法的优点是迭代速度很快。但是每次只选择一个样本，所以不一定每次都是朝着全局最优的方向，不过大方向是朝着全局最优的。
小批量梯度下降法 MBGD（Mini-Batch Gradient Descent）
这是最实用的一种方法，综合了批量和随机的特点，每次选择一小批样本数据（32,64,128比较常见）来计算平均梯度的更新方向。
三种算法的Python实现和说明
假设我们有这样的样本数据：
| x1 | x2 | y |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 19 |
| 2 | 5 | 26 |
| 5 | 1 | 19 |
| 4 | 2 | 29 |
| 3 | 5 | 29 |
| 8 | 1 | 28 |
| 7 | 2 | 29 |
| 1 | 2 | 11 |
| 6 | 2 | 24 |
| 9 | 3 | 39 |
我们的目标是求出θ1和θ2，让h(θ)尽量逼近实际值y。
我们结合Python和实际案例，来说明一下三种算法。参考自：批量梯度下降（BGD）、随机梯度下降（SGD）、小批量随机梯度下降（MSGD）实现过程详解
批量梯度下降法
#BGD
input_x = [[1,4], [2,5], [5,1], [4,2],[3,5],[8,1],[7,2],[1,2],[6,2],[9,3]] #输入
y = [19,26,19,20,28,25,27,13,28,37] #输出
theta = [1,1] #θ参数初始化
loss = 10 #loss先定义一个数，为了进入循环迭代
step_size = 0.01 #步长
eps =0.0001 #精度要求
max_iters = 10000 #最大迭代次数
error =0 #损失值
iter_count = 0 #当前迭代次数
err1=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] #求Θ1梯度的中间变量1
err2=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] #求Θ2梯度的中间变量2
while(loss > eps and iter_count < max_iters):
loss = 0
err1num = 0
err2num = 0
for i in range(10): #我们共有10个样本，每次迭代所有样本计算梯度
pred_y = theta[0]*input_x[i][0] + theta[1]*input_x[i][1] #第i个样本对应的预测值
err1[i] = (pred_y - y[i]) * input_x[i][0]
err2[i] = (pred_y - y[i]) * input_x[i][1]
err1num = err1num + err1[i] #Θ1对应的梯度
err2num = err2num + err2[i] #Θ2对应的梯度
theta[0] = theta[0] - step_size * err1num/10 #更新Θ1对应的梯度
theta[1] = theta[1] - step_size * err2num/10 #更新Θ2对应的梯度
for i in range(10):
pred_y = theta[0]*input_x[i][0] + theta[1]*input_x[i][1] #更新Θ1和Θ2之后重新计算预测值
error = (1/(2*10))*(pred_y - y[i])**2 #计算损失值
loss = loss + error
iter_count += 1
print('theta:', theta)
print('final loss:', loss)
print('iter counts:', iter_count)
得到结果为：
theta: [2.798690040454637, 4.119758556475943]
final loss: 0.9069318692609009
iter counts: 10000
随机梯度下降法
#SGD
input_x = [[1,4], [2,5], [5,1], [4,2],[3,5],[8,1],[7,2],[1,2],[6,2],[9,3]] #输入
y = [19,26,19,20,28,25,27,13,28,37] #输出
theta = [1,1] #θ参数初始化
loss = 10 #loss先定义一个数，为了进入循环迭代
step_size = 0.01 #步长
eps =0.0001 #精度要求
max_iters = 1000000 #最大迭代次数
error =0 #损失值
iter_count = 0 #当前迭代次数
err1=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] #求Θ1梯度的中间变量1
err2=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] #求Θ2梯度的中间变量2
while(loss > eps and iter_count < max_iters):
loss = 0
err1num = 0
err2num = 0
i = random.randint(0,3) #随机选取10个样本中的一个，由于样本数增加，导致迭代次数增多，这里缩减为从前4个样本中取数
pred_y = theta[0]*input_x[i][0] + theta[1]*input_x[i][1] #计算选取的样本对应的预测值
err1num = (pred_y - y[i]) * input_x[i][0] #Θ1对应的梯度
err2num = (pred_y - y[i]) * input_x[i][1] #Θ2对应的梯度
theta[0] = theta[0] - step_size * err1num #更新Θ1对应的梯度
theta[1] = theta[1] - step_size * err2num #更新Θ2对应的梯度
for i in range(4):
pred_y = theta[0]*input_x[i][0] + theta[1]*input_x[i][1]#更新Θ1和Θ2之后重新计算预测值
error = (1/2)*(pred_y - y[i])**2 #计算损失值
loss = loss + error
iter_count += 1
print('theta:', theta)
print('final loss:', loss)
print('iter counts:', iter_count)
计算所得结果：
theta: [3.001936311335262, 3.9976736608405257]
final loss: 8.908461998310991e-05
iter counts: 122
小批量梯度下降法
#MBGD
input_x = [[1,4], [2,5], [5,1], [4,2],[3,5],[8,1],[7,2],[1,2],[6,2],[9,3]] #输入
y = [19,26,19,20,28,25,27,13,28,37] #输出
theta = [1,1] #θ参数初始化
loss = 10 #loss先定义一个数，为了进入循环迭代
step_size = 0.01 #步长
eps =0.0001 #精度要求
max_iters = 100000 #最大迭代次数
error =0 #损失值
iter_count = 0 #当前迭代次数
err1=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] #求Θ1梯度的中间变量1
err2=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0] #求Θ2梯度的中间变量2
while(loss > eps and iter_count < max_iters):
loss = 0
err1num = 0
err2num = 0
#这里总体样本取前4个，每批次选取其中两个样本
i = random.randint(0,3) #缩减为从前4个样本中随机抽取一个样本
j = (i+1)%4 #选取与i相邻的样本为第二个样本
pred_yi = theta[0]*input_x[i][0] + theta[1]*input_x[i][1] #计算选取的样本i对应的预测值
pred_yj = theta[0]*input_x[j][0] + theta[1]*input_x[j][1] #计算选取的样本j对应的预测值
err1num = (pred_yi - y[i]) * input_x[i][0] + (pred_yj - y[j]) * input_x[j][0] #Θ1对应的梯度
err2num = (pred_yi - y[i]) * input_x[i][1] + (pred_yj - y[j]) * input_x[j][1] #Θ1对应的梯度
theta[0] = theta[0] - step_size * (1/2) * err1num #更新Θ1对应的梯度
theta[1] = theta[1] - step_size * (1/2) * err2num #更新Θ2对应的梯度
for i in range(4):
pred_y = theta[0]*input_x[i][0] + theta[1]*input_x[i][1]#更新Θ1和Θ2之后重新计算预测值
error = (1/2*2)*(pred_y - y[i])**2 #计算损失值
loss = loss + error
iter_count += 1
print('theta:', theta)
print('final loss:', loss)
print('iter counts:', iter_count)
计算所得结果：
theta: [3.0015170025160156, 3.9983740403913126]
final loss: 9.42763188681316e-05
iter counts: 116
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