三维几何变换

作者: 板栗_1c34 | 来源:发表于2019-08-28 21:34 被阅读0次

1、简介

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。
与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。

2、基本三维几何变换

2.1、平移变换

若空间平移量为 $（t_x,t_y,t_z）$ ，则平移变换为：

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$\begin{cases} \ x^`=x+t_x \ \\ y^`=y+t_y \ \\z^`=z+t_z \end{cases}$

$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0&0\\ 0& 1& 0&0 \\ 0& 0& 1&0 \\ t_x&t_y& t_z&1 \\ \end{matrix} \right]$
补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变换

2.2、比例变换

（1）相对坐标原点的比例变换
一个点P=（x，y，z）相对于坐标原点的比例变换的矩阵可以表示为：

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$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} S_x& 0& 0&0\\ 0&S_y& 0&0 \\ 0& 0& S_z&0 \\ t_x&t_y& t_z&1 \\ \end{matrix} \right]$

$x^`=xS_x, y^`=yS_y ,z^`=zS_z$
其中， $S_x,S_y,S_z$ 为正值。
（2）相对于所选固定的点的比例变换

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2.3、绕坐标轴的旋转

三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。

(1)绕z轴旋转

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$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} cos\gamma& sin\gamma& 0&0\\ -sin\gamma&cos\gamma& 0&0 \\ 0& 0& 1&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$

(2)绕x轴旋转

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$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0&0\\ 0&cos\alpha& sin\alpha&0 \\ 0& -sin\alpha&cos\alpha&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$

(3)绕y轴旋转

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$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} cos\beta& 0& -sin\beta&0\\ 0&1& 0&0 \\ sin\beta& 0&cos\beta&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$

2.4、旋转矩阵规律

对于单位矩阵，

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绕那个坐标轴旋转，则该坐标轴的一列元素不变，按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵

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中的元素添入相应的位置中

（1）绕Z轴正向旋转 $\gamma$ 角,旋转点的z坐标值不变，x,y坐标的变换相当于在XOY平面内作 $\gamma$ 角旋转。
单位矩阵中添入二维旋转矩阵。

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$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} cos\gamma& sin\gamma& 0&0\\ -sin\gamma&cos\gamma& 0&0 \\ 0& 0& 1&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$

（2）绕X轴正向旋转 $\alpha$ 角,旋转点的x坐标值不变，y,z坐标的变换相当于在YOZ平面内作 $\alpha$ 角旋转。
单位矩阵中添入二维旋转矩阵。
$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0&0\\ 0&cos\alpha& sin\alpha&0 \\ 0& -sin\alpha&cos\alpha&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$

（2）绕Y轴正向旋转 $\beta$ 角,旋转点的y坐标值不变，x,z坐标的变换相当于在XOZ平面内作 $\beta$ 角旋转。
单位矩阵中添入二维旋转矩阵。
$(x^`,y^`,z^`,1)=(x,y,z,1)\left[ \begin{matrix} cos\beta& 0& -sin\beta&0\\ 0&1& 0&0 \\ sin\beta& 0&cos\beta&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$

3、组合变换

1、物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:
(1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;
(2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;
(3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。

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2、绕任意轴旋转的变换
（1）平移物体使旋转轴通过坐标原点；

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（2）旋转物体使旋转轴与某个坐标轴（如Z轴）重合；

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（3）关于该坐标轴进行指定角度的旋转；

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（4）应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向

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（5）应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。

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例子
求变换 $A_v$ ,使过原点的向量V=（a,b,c）与Z轴的正向一致。

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实现步骤：
（1）将V绕X轴旋转到XOZ平面上；
（2）再绕Y轴旋转使之在与Z轴正向重合。
旋转角度的确定：绕X轴旋转的角度等于向量V在YOZ平面上的投影向量与Z轴正向的夹角。

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根据矢量的点乘与叉乘，可以算出：

因此，

$V^`=VR_x(\alpha)=(a,0,\sqrt{b^2 + c^2})$

类似地，可以求出：
$sin\beta=-\frac{a}{\sqrt {a^2 +b^2+c^2}},cos\beta=\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt {a^2 +b^2+c^2}}$

$R_y(\beta)=\left[ \begin{matrix} \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt {a^2 +b^2+c^2}}& 0& \frac{a}{\sqrt {a^2 +b^2+c^2}}&0\\ 0&1& 0&0 \\ -\frac{a}{\sqrt {a^2 +b^2+c^2}}&0&\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{\sqrt {a^2 +b^2+c^2}}&0 \\ 0&0& 0&1 \\ \end{matrix} \right]$
$A_v=R_x(\alpha)R_y(\beta)$
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：

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4.1、绕任意轴旋转变换的简单算法

给定具有单位长的旋转轴 $A=[a_x,a_y,a_z]$ 和旋转角 $\theta$ ，则物体绕OA轴旋转变换的矩阵可确定如下：

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$A^*=\left[ \begin{matrix} 0&-a_z&a_y\\ a_z&0& -a_x\\ -a_y&a_x&0\\ \end{matrix} \right]$
$M=A+cos\theta·(E-A)+sin\theta·A^*$
$P^`=P·M^T$
其中 $M^T$ 表示M的转置矩阵。
利用这一结果，则绕任意旋转的变换矩阵可表示为：

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其中旋转轴为
传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换。与之相比，这种方法更直观。

4.2、三维变换矩阵的功能分块

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（1）三维线性变换部分
（2）三维平移变换部分
（3）透视变换部分
（4）整体比例因子

5、三维坐标变换

几何变换：在一个参考坐标系下将物体从一个位置移动到另一个位置的变换。
坐标变换：一个物体在不同坐标系之间的坐标变换。如从世界坐标系到观察坐标系的变换；观察坐标到设备坐标之间的变换。再如，对物体造型时，我们通常在局部坐标系中构造物体，然后重新定位到用户坐标系。
坐标变换的构造方法:
与二维的情况相同，为将物体的坐标描述从一个系统转换为另一个系统，我们需要构造一个变换矩阵，它能使两个坐标系统重叠。具体过程分为两步：
（1）平移坐标系统oxyz，使它的坐标原点与新坐标系统的原点重合；
（2）进行一些旋转变换，使两坐标系的坐标轴重叠。
有多种计算坐标变换的方法，下面我们介绍一种简单的方法。

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设新坐标系原点的坐标为,相对于原坐标系其单位坐标矢量为：

将原坐标系下的坐标转化成新坐标系的坐标可由以下两步完成：
首先，平移坐标系，使其原点与新坐标系的原点重合；

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平移矩阵为：

第二步，利用单位坐标向量构造坐标旋转矩阵

该矩阵R将单位向量分别变换到X，Y，Z轴。
综合以上两步，从到的坐标变换矩阵为：，也即坐标变换公式为：

说明：变换矩阵TR将一个直角坐标系变换为另一个坐标系。即使一个坐标系是右手坐标系，另一个为左手坐标系，结论依然成立。

三维几何变换

1、简介

2、基本三维几何变换

2.1、平移变换

2.2、比例变换

2.3、绕坐标轴的旋转

2.4、旋转矩阵规律

3、组合变换

4.1、绕任意轴旋转变换的简单算法

4.2、三维变换矩阵的功能分块

5、三维坐标变换

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