概率统计基础

作者: nano1892 | 来源:发表于2019-04-20 00:08 被阅读0次

第一讲随机事件与概率

基本概念

随机试验
三个条件：
1. 可重复
2. 可能结果明确可知且多个
3. 不能事先确定结果
随机事件
随机事件、必然事件、不可能事件
样本空间
基本事件（样本点），记为 $\omega$ 。基本事件全体称为基本事件空间（样本空间），记为 $\Omega$ ，即 $\Omega={\omega}$ ， $A \subset \Omega$ 。
事件的关系与运算
1. 包含： $A \subset B$
2. 相等： $A = B$
3. 交（积）： $A \cap B$ 或AB
4. 相容： $AB \neq \oslash$ ，互斥： $AB = \oslash$
5. 并（和）： $A \cup B$
6. 差： $A - B$ ，逆事件（对立事件）： $\overline{A}$
7. 有限个事件构成一个完备事件组：
  事件的关系和运算法则：
  1. 吸收律：若 $A \subset B$ ，则 $A \cup B = B$ ， $A \cap B = A$
  2. 交换律： $A \cup B = B \cup A$ ， $A \cap B = B \cap A$
  3. 结合律： $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ ， $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
  4. 分配律： $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ ， $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ ， $A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C)$
  5. 对偶律（德摩根律）： $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ ， $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

用古典概型求概率

定义
事件A的古典概率： $P(A) = \frac{k}{n} = \frac{事件A的基本事件个数}{基本事件总数}$
方法与例题
计数方法：
穷举法
集合对应法：
1. 加法原理：完成一件事有n类方法
2. 乘法原理：完成一件事有n个步骤
3. 排列：有顺序， $P^m_n = \frac{n!}{(n-m)!}$
4. 组合：无顺序， $C^m_n = \frac{P^m_n}{m!}$
对立事件思想：若A复杂，研究 $\overline{A}$

用几何概型求概率

引例与定义
等可能思想。
几何概型定义：
1. 样本空间是一个可度量的几何区域
2. 每个样本点发生的可能性都一样
事件A的几何概率： $P(A) = \frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量}$
方法
事件所含样本数和总样本数对应区域大小之比

用重要公式求概率

重要公式
1. 逆事件概率公式： $P(\overline{A}) = 1- P(A)$
2. 加法公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
  3个事件： $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) +P(A_3) -P(A_1A_2) -P(A_1A_3) -P(A_2A_3) + P(A_1A_2A_3)$
3. 减法公式： $P(A - B) = P(A) - P(AB) = P(A\overline{B})$
4. 条件概率公式：已知A发生，B发生的概率为条件概率，记为 $P(B|A)$ ，定义为 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ 。
  推论： $P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$ ， $P(B - C|A) = P(B|A) - P(BC|A)$
5. 乘法公式：如果 $P(A) > 0$ ，则 $P(AB) = P(A)P(B|A)$
  推论：如果 $P(A_1 \cdots A_(n-1)) > 0$ ，则 $P(A_1A_2 \cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2) \cdots P(A_n|A1 \cdots A_{n-1})$
6. 全概率公式： $P(B) = \sum^n_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)$
7. 贝叶斯公式（逆概公式）： $P(A_j|B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum^n_{i=1}P(A_i)P(B|A_i)}$
8. 事件的独立性：如果 $P(AB) = P(A)P(B)$ ，则A、B互相独立。
  当n=3时，注意相互独立和两两独立的区别。

第二讲一维随机变量及其分布

基本概念

随机变量的概念
分布函数的概念及性质
1. 概念：设X是随机变量，x是任意实数，称函数 $F(x) = P\{X \leqslant x\}(x \in R)$ 为随机变量X的分布函数，或称X服从分布F(x)，记为 $X \sim F(x)$
2. 性质（也是充要条件）
  1. 单调不减
  2. 右连续函数
  3. $F(- \infty) = 0$ ， $F(+ \infty) = 1$
    注：已知 $0 \leqslant F(x) \leqslant 1$ ，即F(x)是有界函数

常见的两类随机变量 -- 离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量及其概率分布
分布律： $p_i = P\{X=x_i\},i=1,2, \cdots$ ，记为 $X \sim p$ 。
概率分布的表格形式：

X	$x_1$	$x_2$	$\cdots$
P	$p_1$	$p_2$	$\cdots$

矩阵形式：
$X \sim \left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 & \cdots \\ p_1 & p_2 & \cdots \end{array}\right)$
数列 $\{p_i\}$ 是离散随机变量的概率分布的充要条件是： $p_i \geqslant 0(i=1,2,\cdots)$ ，且 $\sum_i{p_i} = 1$ 。
特别有 $P\{a < X \leqslant b\} = P\{X \leqslant b\} - P\{X \leqslant a \} = F(b) - F(a)$

连续型随机变量及其概率密度
随机变量X的分布函数：
$F(x) = \int^x_{-\infty}f(t)d_t(x \in R)$
其中f(x)是非负可积函数，是X的概率密度函数，记为 $X \sim (x)$
f(x)为某一随机变量X的概率密度函数的充分必要条件是： $f(x) \geqslant 0$ ，且 $\int^{+\infty}_{_\infty}f(x)d_x = 1$ （由此可知，改变f(x)的有限个点的值后，f(x)的值仍然是概率密度）
特别有 $P\{a < X < b\} = \cdots = P\{a \leqslant X \leqslant b\} = \int^b_af(x)d_x = F(b) - F(a)$

常见的随机变量分布类型

离散型
1. 0-1分布：B(1,p)
2. 二项分布：B(n,p)
3. 泊松分布： $P\{X=k\} = \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-k}(k>=0;\lambda >0)$ ，记为 $X \sim P(\lambda)$
4. 几何分布： $P\{X=k\} = q^{k-1}p(k>=1;q=1-p)$ ，记为 $X \sim G(p)$
5. 超几何分布
连续型
1. 均匀分布U(a,b)
  $f(x) = \left\{\begin{array}{rcl} \frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & 其他, \end{array}\right.$
  或
  $F(x) = \left\{\begin{array}{rcl} 0, & x<a, \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x<b, \\ 0, & x \geqslant b, \end{array}\right.$
2. 指数分布 $E(\lambda)$
  $f(x) = \left\{\begin{array}{rcl} \lambda e^{- \lambda x}, & x>0, \\ 0, & 其他, \end{array}\right.$
  或
  $F(x) = \left\{\begin{array}{rcl} 1-e^{-\lambda x}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x<0, \end{array}\right. \lambda>0$
3. 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
  称 $\mu=0,\sigma=1$ 时的正态分布N(0,1)为标准正态分布，概率密度为 $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} e^{-\frac{1}{2} x^2}}$ ，分布函数为 $\Phi(x)$ ，显然 $\varphi(x)$ 为偶函数， $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ ， $\Phi(-x) = 1- \Phi(x)$
  如果 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ，4个公式

随机变量函数的分布

概念及分布
1. 概念：设X为随机变量，则Y=g(x)也是随机变量，称为随机变量X的函数
2. 随机变量函数的分布：
  1. 离散型：分别求 $g(x_i)$ ，合并相同项
    $X \sim \left( \begin{array}{cc} g(x_1) & g(x_2) & \cdots \\ p_1 & p_2 & \cdots \end{array}\right)$
  2. 连续型：
    1. 定义法（分布函数法）：直接由定义求Y的分布函数
      $F_{Y(y)} = P\{Y \leqslant y\} = P\{g(X) \leqslant y\} = \int_{g(x) \leqslant y}f(x)dx$
      求导：Y的概率密度 $f_{Y(y)} = F'_{Y(y)}$

第三讲多维随机变量及其分布

基本概念

二维 $r.\upsilon.(X,Y)$
联合分布函数
边缘分布函数
独立性
离散型 $(X,Y) \sim P_{ij}$ 联合分布律
连续型 $r.\upsilon.(X,Y) \sim f(x,y)$ 联合概率密度

第四讲数字特征

基本概念

数学期望
1. $X \sim p_i \Rightarrow EX = \sum_i{x_ip_i}$
2. $X \sim f(x) \Rightarrow EX = \int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx$
方差
1. 定义法
2. 公式法
  $DX = EX^2 - (EX)^2$
协方差Cov(X,Y)
$Cov(X,Y) = E(X-EX)(Y-EY) = E(XY) - EX \cdot EY$
相关系数
$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$ ，描述X，Y之间线性相关程度

第五讲数理统计初步

基本概念

总体与样本
估计方法
1. 矩估计
2. 最大似然估计

概率统计基础

第一讲随机事件与概率

基本概念

用古典概型求概率

用几何概型求概率

用重要公式求概率

第二讲一维随机变量及其分布

基本概念

常见的两类随机变量 -- 离散型随机变量和连续型随机变量

常见的随机变量分布类型

随机变量函数的分布

第三讲多维随机变量及其分布

基本概念

第四讲数字特征

基本概念

第五讲数理统计初步

基本概念

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

概率统计基础

第一讲 随机事件与概率

基本概念

用古典概型求概率

用几何概型求概率

用重要公式求概率

第二讲 一维随机变量及其分布

基本概念

常见的两类随机变量 -- 离散型随机变量和连续型随机变量

常见的随机变量分布类型

随机变量函数的分布

第三讲 多维随机变量及其分布

基本概念

第四讲 数字特征

基本概念

第五讲 数理统计初步

基本概念

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

第一讲随机事件与概率

第二讲一维随机变量及其分布

第三讲多维随机变量及其分布

第四讲数字特征

第五讲数理统计初步