堆排序

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏、最好平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先了解下堆结构。

堆

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子节点的值，成为大顶堆；或者每个节点的值都小于或等于其左右孩子节点的值，成为小顶堆。如下图：

堆.png

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数据中就是下面这个样子

数组.png
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾九尾最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行。便能得到一个有序序列了。

构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆

• 假设给定无序序列结构如下

  
  1.png

• 此时我们从最后一个非叶子节点开始（页节点自然不用调整，第一个非叶子节点arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6节点），从左至右，从下到上进行调整。

  
  2.png

• 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换

  
  3.png

• 这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4，6

  
  5.png

此时，我们就将一个无序序列构造成了一个大顶堆

步骤二 将堆顶元素和末尾元素进行交换，使末尾元素最大，然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素，如此反复进行交换、重建、交换。

• 将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

  
  7.png

• 重新调整结构，使其继续满足堆定义

  
  8.png

• 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8

  
  9.png

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

10.png

再简单总结下堆排序的基本思路：

1. 将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆；
2. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素“沉”到数组末端
3. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行+交换步骤，直到整个序列有序

package sortdemo;

import java.util.Arrays;

/**
 * Created by chengxiao on 2016/12/17.
 * 堆排序demo
 */
public class HeapSort {
    public static void main(String []args){
        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    public static void sort(int []arr){
        //1.构建大顶堆
        for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
            //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
            adjustHeap(arr,i,arr.length);
        }
        //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
        for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
            swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
            adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整
        }

    }

    /**
     * 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）
     * @param arr
     * @param i
     * @param length
     */
    public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
        int temp = arr[i];//先取出当前元素i
        for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始
            if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点
                k++;
            }
            if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
                arr[i] = arr[k];
                i = k;
            }else{
                break;
            }
        }
        arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
    }

    /**
     * 交换元素
     * @param arr
     * @param a
     * @param b
     */
    public static void swap(int []arr,int a ,int b){
        int temp=arr[a];
        arr[a] = arr[b];
        arr[b] = temp;
    }
}

总结

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推到复杂度O(n)，在交换堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。