奇异值分解SVD

作者: ltochange | 来源:发表于2021-06-07 23:22 被阅读0次

定义

矩阵的奇异值分解（SVD）是指，将一个非零的 $m \times n$ 实矩阵 $A$ , $A \in{R}^{m \times n}$ , 表示为三个实矩阵相乘的形式:
$A=U \Sigma V^{\mathrm{T}}$
其中， $U$ 是 $m$ 阶正交矩阵, $V$ 是 $n$ 阶正交矩阵， $\Sigma$ 是由降序排列的非负的对角线元素组成的 $m \times n$ 矩形对角矩阵, 满足

$\begin{aligned} &U U^{{T}}=I \\ &V V^{{T}}=I \\ &\Sigma=\operatorname{diag}\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{p}\right) \\ &\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \cdots \geqslant \sigma_{p} \geqslant 0 \\ &p=\min (m, n) \end{aligned}$

$\sigma_{i}$ 成称为矩阵 $A$ 的奇异值， $U$ 的列向量称为左奇异向量， $V$ 的列向量称为右奇异向量

ps：奇异值分解不要求矩阵 $A$ 是方阵，矩阵的奇异值分解可以看作是方阵对角化的推广

常用形式

以上给出的奇异值分解又称为完全奇异值分解，实际常用的是奇异值分解的紧凑形式和截断形式。

设有 $m \times n$ 实矩阵 $A$ , 其秩为 $\operatorname{rank}(A)=r, r \leqslant \min (m, n)$ :

紧奇异值分解:
$A=U_{r} \Sigma_{r} V_{r}^{\mathrm{T}}$

其中， $U_{r}$ 是 $m \times r$ 矩阵, $V_{r}$ 是 $n \times r$ 矩阵， $\Sigma_{r}$ 是 $r$ 阶对角矩阵；矩阵 $U_{r}$ 由完全奇异值分解中 $U$ 的前 $r$ 列、矩阵 $V_{r}$ 由 $V$ 的前 $r$ 列、矩阵 $\Sigma_{r}$ 由 $\Sigma$ 的前 $r$ 个对角线元素组成。紧奇异值分解的对角矩阵 $\Sigma_{r}$ 的秩与原始矩阵 $A$ 的秩相等。

截断奇异值分解：

$A \approx U_{k} \Sigma_{k} V_{k}^{\mathrm{T}}$

其中， $0<k<r$ ， $U_{k}$ 是 $m \times k$ 矩阵, $V_{k}$ 是 $n \times k$ 矩阵, $\Sigma_{k}$ 是 $k$ 阶对角矩阵; 矩阵 $U_{k}$ 由完全奇异值分解中 $U$ 的前 $k$ 列矩阵 $V_{k}$ 由 $V$ 的前 $k$ 列、矩阵 $\Sigma_{k}$ 由 $\Sigma$ 的前 $k$ 个对角线元素组成。对角矩阵 $\Sigma_{k}$ 的秩比原始矩阵 $A$ 的秩低

性质

（1）设矩阵 $A$ 的奇异值分解为 $A=U \Sigma V^{\mathrm{T}}$ , 则以下关系成立:
$\begin{aligned} &A^{\mathrm{T}} A=\left(U \Sigma V^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}\left(U \Sigma V^{\mathrm{T}}\right)=V\left(\Sigma^{\mathrm{T}} \Sigma\right) V^{\mathrm{T}} \\ &A A^{\mathrm{T}}=\left(U \Sigma V^{\mathrm{T}}\right)\left(U \Sigma V^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=U\left(\Sigma \Sigma^{\mathrm{T}}\right) U^{\mathrm{T}} \end{aligned}$

（2）矩阵 $A$ 的奇异值分解中，左奇异向量，右奇异向量和奇异值存在一一对应的关系

（3）矩阵 $A$ 的奇异值分解中，奇异值 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n}$ 是唯一的，而矩阵 $U$ 和 $V$ 不是唯一的。

（4）矩阵 $A$ 和 $\Sigma$ 的秩相等, 等于正奇异值 $\sigma_{i}$ 的个数 $r($ 包含重复的奇异值，奇异值都是非负的)

（5）矩阵 $A$ 的 $r$ 个右奇异向量 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}$ 构成 $A^{\mathrm{T}}$ 的值域 $R\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 的一组标准正交基

几何解释

从线性变换的角度理解奇异值分解:

$m \times n$ 矩阵 $A$ 表示从 $n$ 维空间 $\mathbf{R}^{n}$ 到 $m$ 维空间 $\mathbf{R}^{m}$ 的一个线性变换，
$T: x \rightarrow A x$
$x \in {R}^{n}, A x \in \mathbf{R}^{m}, x$ 和 $A x$ 分别是各自空间的向量。

$A=U \Sigma V^{\mathrm{T}}$ 奇异值分解可以看作, 将线性变换 $A$ 转换为三个简单变换. 例如下图, 给出了原始空间的标准正交基 (红色与黄色)，经过坐标系的旋转变换 $V^{\mathrm{T}}$ 、坐标轴的缩放变换 $\Sigma$ , 坐标系的旋转变换 $U$ ，得到和经过线性变换 $A$ 等价的结果。

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