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title: CS229 Week3 罗杰斯特回归&正则化
date: 2017-03-26 18:40:21
categories: ML/CS229
mathjax: true
tags: [Machine Learning,CS229]

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第三周

6 Logistic Regression 逻辑回归/两分类问题

6.1 分类问题Classification and Representation

分类问题：0或1
坏样本很大影响预测linear function

6.2 假说表示 Hypothesis Representation

h_\theta(x)=g(\theta^Tx)
逻辑函数、激励函数g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}

6.3 判定边界

• Decision Boundary：output0,1的input间的边界
  • linear decision boundary
  • non-linear decision boundary
  • eg.h_\theta(x)=g(\theta^T(x))>=0.5when\theta^T(x)>=0，\theta^T(x)就是边界

6.4 代价函数

Logistic Regression Model

• cost function:convex
  Cost(h_\theta(x_i) ，y_i)

6.5 简化的成本函数和梯度下降

• simplified cost function and gradient descent
  Cost(h_\theta(x_i) ，y_i)=-ylog(h_\theta(x))-(1-y)log(1-h_\theta(x))
  • We can fully write out our entire cost function as follows:

h=g(\theta^T X)
J(\theta)=\frac{-1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y_i log(h_\theta(x_i))+(1-y_i)log(1-h_\theta(x_i))]

* Gradient Descent
Remember that the general form of gradient descent is:$$\theta_j:=\theta_j-\alpha \frac{\sigma J(\theta)}{\sigma \theta_j}$$
Repeat:$$\theta_j:=\theta_j-\frac{\alpha}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x_i)-y_i)x_{ij}$$
* Partial derivative of J(θ)
First calculate derivative of sigmoid function:$σ(x)′=(\frac{1}{1+e^{−x}})′=σ(x)(1−σ(x))$
Now we are ready to find out resulting partial derivative:$$\frac{\sigma J(\theta)}{\sigma \theta_j}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x_i)-y_i)x_{ij}$$

6.6 高级优化 advanced optimization

高级优化算法：

• 共轭梯度法

• BFGS (变尺度法)
• L-BFGS (限制变尺度法

这三种算法收敛得远远快于梯度下降。
同时这三种算法内部有线性搜索(line search)算法，来尝试不同的学习率\alpha。

6.7 多类别分类：一对多 Multiclass Classification

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7 正则化(Regularization)

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如上所示，x次数越高拟合越好，但是预测能力会减弱。

7.1 过拟合的问题

解决过拟合问题：

• 丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征， 或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如 PCA）

• 正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小（ magnitude）
  1. 正则化的目的：防止过拟合！
  2. 正则化的本质：约束（限制）要优化的参数。

7.2 代价函数

7.1中h_\theta(x)=θ_0+θ_1*x_1+θ_2*x_2^2...式子可以看出，是那些高次项导致了过拟合的产生，如果我们能让这些高次项的系数接近于 0 的话，我们就能很好的拟合了。
因此我们选择加大最小化代价函数过程中对高次项的惩罚。如下式对所有θ都增大了惩罚：

J(θ)= \frac{1}{2m}[\sum_{1}^{m}(h(x_i) - y_i)^2+\lambda\sum_{j=1}^n\theta_i^2]
此处\lambda过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 hθ(x)=θ0,
过小，起不到作用。

7.3 正则化的线性回归

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7.4 正则化的逻辑回归

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