姓名：卢超杰 学号：20021210944
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【嵌牛导读 】：在数据量激增的今天，在传统的奈奎斯特采样定理下，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍，数据量极大，对软硬件都带来了极大的挑战，现在需有一种新的思想来解决这个问题。
【嵌牛鼻子】：压缩感知 稀疏重构
【嵌牛提问】：压缩感知是什么？它的优势是什么？
【嵌牛正文】：
在个数字化时代，所有的数字信号采集都必须有相应的数字化的软硬件支撑。随着人们对于图像、视频等多媒体内容的需求和要求越来越高，对应的硬件设备如照相机、摄像机等信号采集的设备的压力也越来越大。比如，相片的分辨率越来越高，这就需要在照相机中内置越来越多的传感器，以采集质量更高的图像信号。此外还有其他一些目前传统信号采集方式无法有效满足的需求，不可见光如X射线、伽马射线等信号采集、高速视频采集等。
那么，在这样一个对信号采集越来越苛刻的需求下，有没有一种更有效的采集、传输、存储以及处理的方法呢？答案就是压缩感知。
首先，我们来了解一下传统的信号采集方法。
传统
传统的数字信号采样定律就是有名的香农采样定理，又称那奎斯特采样定律，定理内容如下：
为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
下图分别为在时域和空域上的数字化采集。
基于香农采用定理，我们来看看目前传统图像信号采集设备的采样过程：
1、按照Nyquist采样率进行均匀采样，得到可以无失真恢复模拟信号的数字信号；uniformlysample data at Nyquist rate (2x Fourier bandwidth)
信号存在冗余，即信号具有稀疏性：
2、上述步骤得到的数字信号的数据量比较大，一方面不利于存储和传输，另一方面该数字信号本来存在很多冗余，可以对其进一步的压缩，于是就通过各种编码方法对数据进行有效的压缩；compress data
我们来分析一下上面的采样过程有什么不妥的地方？
相机的传感器通过将模拟信号（光）转换为数字信号（Nyquist定理采样），如N pixel的图像信号，之后又通过压缩编码算法将N pixel的图像信号转化为K个系数表示的数据，而K<<N，那么问题来了，为什么我们费了一番心思获得了N个采样值，却最后又通过复杂的编码算法将之压缩成K个数值？
基于这个疑问，我们引出了压缩感知的概念。
2、压缩感知
什么是压缩感知
顾名思义，就是感知压缩，直接获取压缩后的数据。即在采集的时候，直接采集有效的M个测量值，而非满足Nyquist采样定理的N个采样值（M<<N）。
采集原理过程：
当信号是稀疏或可压缩的，我们可以以某个线性投影的方式来得到信号的压缩后表示condensed representation，（采集过程：降维）得到的数据能够以无失真或较低失真地方式重建原始的数字信号。（重建过程）
Y就是压缩后的信号表示
Φ表示采集的测量矩阵，可以是一个随机矩阵。
X代表原始的数字信号
采集过程就是一个线性投影过程，如上面的公式所示。
下图形象地描述了这个过程，Φ的每一行代表一次测量，M行则可以得到M个测量值。
压缩感知的采集过程如下：
接下来，我们来分析一下，为什么这样的一种采集方式是有效的？
随机投影矩阵Φ并不是满秩的（M
公式的左边两边并不是等价的过程，即已知y，不能直接求得x，可以说是存在信息损失的。
但是，随机投影矩阵在很大概率上保留了稀疏信号的结构和信息，即得到测量值y之后，我们可以以很大的概率来完美重建信号。
压缩感知
了解了压缩感知的大致框架之后，我们从数学角度来考虑压缩感知这个问题。
从上面这个采集公式可以得出压缩感知的三个必要条件：
x：信号，满足稀疏性（在某个变换域内是稀疏的）
Φ：测量矩阵，满足一定的不相关性
已知y，如何得到x：恢复算法（最优化方法，后续介绍）
x信号：
测量：
压缩感知特点：
通过利用信号稀疏性的先验知识，压缩感知采用了一种全新的数据采集方式。
稳定性：采集和重建过程都是数值稳定的
通用性：相同的测量投影（测量矩阵或硬件）可以用于不同的信号采集
不对称性：（编码即采集简单，大部分计算在于解码即重建）
民主性：每个测量值都携带着相同的信息，这样对于测量时的损失具有鲁棒性。
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