大数据中的统计学基础——Day3

本章内容

1. 条件概率
2. 乘法定理
3. 全概率公式
4. 贝叶斯公式、先验与后验
5. 相互独立、互斥、对立（互逆）

一、条件概率

已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)。

引例：

甲乙两人各抛一颗骰子，点数大的赢。如果甲先抛骰子，得到点数4，那么乙获胜的概率是多少？

记A={甲得到点数为4}，B={乙获胜} ，P(A)=1/6；P(AB)=2/36=1/18；P(B|A)2/6=1/3

看一下P(B|A)与P(A)、P(B)的关系：P(B|A)=P(AB)/P(A)

条件概率也是概率的一种，同样满足前一章所说的概率定义的条件与性质

举例：

某公司年终决定丼行抽奖活动，从全部员工中选取一名特等奖。公司人事架构如下：

（1）若被抽中的人是销售部的，问该员工是女性的概率？

（2）若被抽中的人是女生的，问该员工是销售部的概率是？

解题上来要设事件！！

解：设A={被抽中的是销售部的}，B={被抽中的是女生}

(1)P(B|A)=P(AB)/P(A)=(10/100)/(30/100)=1/3

(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=(10/100)/(40/100)=1/4

著名的三门问题：到底换了的概率变大了没有

将3个门记为1,2,3号，假设参赛者先选择的是1号门。

记Ａ＝｛1号门是汽车};B={2号门 是汽车}；C={3号门是汽车}，则P(A)=P(B)=P(C)=1/3。原来的选择有1/3的机会获得 汽车。

假设主持人开启了2号门，这个事件记为D。那么参赛者坚持选择或是改变选择而赢得 汽车的概率又是多少？

从图中的第一列看出，当参赛者选择了1号门， 2号门被打开的概率P(D)=1.5/3；汽车在1号门 并且主持人打开了2号门的概率P(AD)=0.5/3 。

1. 坚持选择：P(A|D)=P(AD)/P(D)=1/3
2. 改变选择：P(CD)=1/3 P(C|D)=P(CD)/P(D)=2/3

所以，改变选择将有更大的几率获得汽车。

二、乘法定理

由条件概率的定义，很容易得到P(AB)=P(B|A)P(A)，其中P(A)>0。这条公式很容易推广到P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=P(A|BC)P(B|C)P(C)

例1：设某光学仪器厂 制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若 第一次落 下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.

例2：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次 ,每人最多参加3次;某人第一次参加能通过的概率为60% ;如果第一次未通过就去参加第二次,这时能通过的概率为80% ;如果第二次再未通过,则去参加第三E次,此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。

三、全概率公式

划分：

全概率公式：

举例：

例1: 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的概率为60% ,利率不变的概率为40%。根据经验,在利率下调时某支股票上涨的概率为80% ,在利率不变时,这支股票上涨的概率为40%。求这支股票上涨的概率。

三、贝叶斯公式

引例：

病树的主人外出,委托邻居浇水,设已知如果不浇水,树死去的概率为0.8.若浇水则树死去的概率为0.15.有0.9的把握确定邻居会记得浇水.

(1)求主人回来树还活着的概率.

(2)若主任回来树还活着，求邻居忘了浇水的概率.

先验概率与后验概率：

例1：对以往数据分析结果 表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98% ,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?

这就是说,当生产出第一件产品是合格品时,此时机器调整良好的概率为0. 97.这里,概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0,97)叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。

例2：根据以往 的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)==0.005,试求P(C|A).

本题的结果表明,虽然P(A|C)=0.95,P(A|C)=0.95,这两个概率都比较高.但若将此试验用于普查,则有P(C|A)=0.087,亦即其正确性只有8. 7%(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症).如果不注意到这一点,将会得出错误的诊断,这也说明,若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果.

公式比较：

乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式

1 乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；

2 全概率公式是求“最后结果”的概率；

3 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“某个事件”的概率.

先验概率与后验概率

1 P(Bj|A)是在事件A发生的条件下, 某个事件Bj发生的概率, 称为 “后验概率”;

2 Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;

3 称P(Bj) 为“先验概率”.

五、相互独立、互斥、对立

P(B|A)=P(B), P(B|A)=P(B)表示事件A的发生与否对事件B发生的概率都没有影响,这时我们可以说A、B相互独立。

多个事件相互独立与多个事件两两独立不是一回事

相互独立事件：风马牛丌相及。两个事件没有一点关系。例如，A、Ｂ分别表示甲、乙 两人患感冒，丏甲乙两人的活动范围相距甚进，那么甲是否患感冒跟乙没什么关系， 所以可以认为A、B独立。

互斥事件：要么只有其中一个事件发生，要么两个事件都不发生。在某次抽奖活动中， 一等奖只有一个名额，A={甲中一等奖}，B={乙中一等奖}。那么A、B互为互斥事件， 实际情况可能是甲中一等奖，可能是乙中一等奖，当然，更有可能甲乙都没中奖。

对立事件：两个只能活一个，不是你死就是我亡。跟互斥事件相比，对立事件必然会 有一个事件发生。例如在上述的抽奖活动中，C={甲没中一等奖}，那么Ａ与Ｃ是对立事件。

互斥事件不对立事件都不是相互独立事件！