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2020-04-14 《复杂》- 科赫曲线

2020-04-14 《复杂》- 科赫曲线

作者: Joise成长 | 来源:发表于2020-04-14 17:38 被阅读0次

    最近在看《复杂》,内容没看完,为了提交不出局作用,将我感兴趣的科赫曲线的说明截取下来。

    主要内容都是《复杂》的内容,不属于原创。



    C07-1. 科赫曲线:科赫曲线是通过不断应用一条规则得出

    1.从一条直线段开始。

    2.应用科赫曲线规则:“将每段线段等分成三段,中间一段替换为一个三角形的两条边,每一边都等于原线段的1/3。”因为只有一条线段,应用这个规则后变为:

    3.对生成的图形再次应用科赫曲线规则,不断继续。下面是迭代了两次、三次和四次之后的情形:

    图形


    C07-2. 科赫曲线是几维呢?

    1. 首先我们来看看直线、正方形和立方体这些常规几何对象的维数到底指的是什么。

    2. 先来看看直线段。将其一分为二。然后将得到的线段再二分,每次都将各段线段一分为二:

    3. 每一次得到的图形都是由两个上次缩小一半的拷贝组成。再来看看正方形。从各边将其二分。然后将得到的正方形继续从各边二分,这样不断二分下去。

    4. 每次得到的图形都是由上次四分之一大小的4个拷贝组成。你可能已经猜到下面做什么了,将立方体从各边二分。将得到的立方体不断二分:

    图片

    每次得到的都是由上次八分之一大小的8个拷贝组成。

    这里已经能够看出维度的意义。一般而言,每次得到的图形都是由上次缩小的拷贝组成,而拷贝的数量则是2的维数次幂(2维数)。对于直线,是21=2个拷贝;对于正方形,是22=4个拷贝;对于立方体是23=8个拷贝。类似的,如果不是二分,而是将各边三分,则每次得到的图形是上次的3维数个拷贝。由此可以总结出一个规律:

    将几何结构从各边分成X等份,不断重复这个过程。每次得到的将是前一次的个拷贝。

    根据维数的这种定义,直线是1维,正方形是2维,立方体是3维。都没有问题。

    现在将这个定义类推到科赫曲线。每次直线段都是之前的1/3长,而得到的则是之前的4个拷贝。根据前面的定义,应该是3维数=4。维数是多少呢?这里我们直接给出结果104 (计算过程在注释中给出),根据前面的规律,维数约为1.26。也就是说,科赫曲线既不是1维也不是2维,而是介于两者之间。太奇怪了,分形的维数居然不是整数。这正是分形的奇特之处。

    简而言之,分形维数 105 决定了物体的自相似拷贝的数量。同样,分形维也决定了随着层次的变化,物体总的大小(或者面积、体积)会如何改变。例如,如果你在每次应用规则后测量科赫曲线的总长度,你会发现每次长度增加为原来的4/3。只有完美的分形——可以缩小直至无穷——才有精确的分形维数。像海岸线这类真实世界的有穷类分形事物,我们只能测量近似的分形维数。

    C07-3. 度量的多样性也表明复杂性思想具有许多维度,也许无法通过单一的度量尺度来刻画。

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