双曲线200530

作者: 椰子数学 | 来源:发表于2020-05-30 23:44 被阅读0次

1、双曲线的定义

（1）双曲线的定义

平面内与两个定点 $F_1,F_2$ 的距离的差的绝对值等于常数（小于| $F_1F_2$ |且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线。

①两个定点 $F_1,F_2$ 叫做双曲线的焦点

②| $F_1F_2$ |叫做双曲线的焦距

思考：讨论2a与2c的关系？

2、双曲线的标准方程

image.png

3、双曲线的几何性质

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4、双曲线的离心率

（1）定义

双曲线的焦距与实轴长的比 $\frac{c}{a}$ 叫做双曲线的离心率，用e表示，e= $\frac{c}{a}$

（2）e的范围：e＞1

（3）e的几何意义

e表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大
$\frac{b}{a}$ = $\sqrt{e^2-1}$
e越大， $\frac{b}{a}$ 越大，渐进线与实轴的夹角也越大

5、几种特殊的双曲线

（1）等轴双曲线：

实轴长等于数轴长，e= $\sqrt{2}$ ，两条渐进线互相垂直

（2）共轭双曲线：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ =1与 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}$ =1，它们有共同渐进线y=± $\frac{b}{a}$ x，其离心率满足: $\frac{1}{{e_1}^2}+\frac{1}{{e_2}^2}$ =1

(3)共渐进线双曲线

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ =1与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ =k

（4）共焦点双曲线

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ =1与 $\frac{x^2}{a^2+λ}-\frac{y^2}{b^2-λ}$ =1

6、双曲线通径： $\frac{2b^2}{a}$

7、双曲线几个重要结论

（1）弦长公式（与椭圆相同）

（2）焦点三角形面积

s= $\frac{b^2}{tan\frac{α}{2}}$

（3）基础三角形

image.png

（4）双曲线的一个焦点到一条渐进线的距离等于虚半轴长

（5）双曲线的切线方程： $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}$ =1

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①两个定点 $F_1,F_2$ 叫做双曲线的焦点

②| $F_1F_2$ |叫做双曲线的焦距

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(3)共渐进线双曲线

（4）共焦点双曲线

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（3）基础三角形

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