2. 升降记号
五线谱中，音符的后面可以添加升降标记，表示该音符升高半音或降低半音。升号为#，降号为b。显然，有两个音是没必要升的：E升半音就是F，B升半音就是C，而这就是钢琴键盘布局形成的原因。如下图所示：
图7 钢琴键盘中部分键位的音名（下面是白键音名，上面是黑键音名）
钢琴上的黑键比左边的白键高半音（也可以说是比右边的白键低半音），因此白键B和E的右边就没有黑键。此外，所有的降音都可以由另一些音的升音代替，比如Bb就是A#，Gb就是F#。那既然如此，为什么不用升号代替全部的降号呢？原因就是为了可读性，正如写代码时不能为了减少代码量就把所有的if语句都换成三目运算符。
如果一段谱子中的某个音符几乎都要升半音或降半音处理，那就可以在高音谱号的右侧，这个音符所在的一条线或一个间上标记升降号。
图8 肖邦《练习曲 Op.25》第3首选段（略有删改简化）
在图8所示乐谱中，第三线上标记了一个降号b，表示这个谱子里的所有B音都需降半音，除非另外在个别音符上标记升降或还原记号。音符被升降半音后的频率可根据之前学过的相邻音符之间的频率倍数关系计算。升高半音后的频率为原频率的2–√12212倍，降低半音后的频率为原频率的1/2–√121/212倍。比如C5升高半音的频率即为523.25113×2–√12≈554.3653Hz523.25113×212≈554.3653Hz。
3. 双音谱
图9 肖邦《C大调练习曲》选段
图9是一个钢琴谱，这下我们终于见到了高音谱号和低音谱号并存的样子了。标有高音谱号的上面一排是高音谱，标有低音谱号的下面一排是低音谱，它们分别对应钢琴健盘上不同的键区。低音谱的“线”和“间”所对应的音符与高音谱不同，如图10所示：
图10 低音谱各音符及其音名
其实低音谱中的音名也没有那么难记，实际上它和高音谱是相互连接的，中间刚好只隔了一条加线。高音谱的下加一线就是低音谱的上加一线，而这条线上的音就是中央C，即C4。和高音谱号类似，低音谱号的圆心标记的是F3在谱中的位置，即第四线上。
低音谱中各音的频率计算与高音谱是相同的，只要搞清音程关系，从基准音推算即可。比如在前面的钢琴谱中可以看到低音谱的最左端有两个C（它们是用圆圈表示的），一个是第二间的C3；另一个是下加二线上的C2。C3和C2的频率分别为C4频率的1/4和1/8，而C4的频率在前面已经计算过了。
利用上面的知识，你已经可以计算任何一个五线谱中每个音的频率了，八度音程中各音之间的音程可参见第五讲后面给出的音程表。那么接下来我们介绍对一些特别的频率进行合成的问题——和声。
三、和声
和声，是指由超过一个单音所组合而成的声音。你可能会发现，和声的定义与拍音的定义是非常相似的。的确如此，所有的拍音都是和声，但和声不一定会产生拍音。首先，人耳可以听到的声波频率范围大约为20Hz到20000Hz，如果和声产生的频率超过这个范围，通常就不能称之为拍音了。其次，不同的乐器发出的单音进行叠加也可以称为和声，这也不是拍音。最后，拍音要求所有单音同时发出，而和声则无此要求，只要一个音在另一个音结束之前发出，它们交叠的部分就形成了和声。
肖邦《C大调练习曲》的前两个小节，下载收听。这是由一架钢琴演奏的曲目，前两个小节的乐谱在本讲第一节中给出。一开始的那个低沉的重音就是C3和C2的和声。朋友们可以在在线钢琴上试着弹一下C3和C2这两个单音的和声（对应键盘上左起第1个键和第8个键）。乐谱中这个和声从一开始延续到了第二个小节结束，在这期间，钢琴还奏出了一共31个音符，这每一个音符与持续的低音和声又形成了更复杂的和声。下面请收看《C大调练习曲》的完整版，请朋友们注意钢琴家的左手总是保持按下的状态，都是在利用声音的延续制造和声。
瓦伦蒂娜‧乌拉索娃演奏，肖邦《C大调练习曲》
在西方古典音乐理论中，和声主要研究两个单音构成的和声，三个或以上单音构成的和声一般称为和弦，我们放在下一节讨论。在一个纯八度范围内，两个单音的和声一共有12种，即与12种音程相对应。在钢琴键盘上以中央C键，即C4为准，请试听一下C4分别与D4、E4、F4、G4、A4、B4以及C5键同时按下的和声效果。听过以后有没有发现某些和声比较悦耳，而某些则比较难听？比如C4和C5同时按下（纯八度音程）的和声就毫无违和感，就像只有一个音；而C4和D4同时按下（小二度音程）就非常刺耳难听。这究竟是为什么呢？
图11 钢琴键盘与五线谱对照图
就是因为拍音！上一讲我们学到，相邻两个音之间的频率比为2–√12≈1.059463212≈1.059463，我们将这个数记为p，那么各音程的频率比（即相距某个音程的低音比高音）可由其音数t按公式：1/(2t)p1/(2t)p算得。由于除纯八度外的所有音程的频率比均为无理数，因此他们的拍音的频率只能按他们频率的近似整数比来计算，详见第一讲第三节。计算近似整数比的数学过程是比较复杂的，这里篇幅有限，不做进一步的讨论。接下来我们分别换算一下12个音程的频率比。
音程近似频率比近似整数比最小公倍数
小二度1:1.0615:16240
大二度1:1.128:972
小三度1:1.195:630
大三度1:1.264:520
纯四度1:1.343:412
三全音1:1.417:1070
纯五度1:1.502:36
小六度1:1.595:840
大六度1:1.683:515
小七度1:1.785:945
大七度1:1.898:15120
纯八度1:21:22
按近似整数比的最小公倍数排序，可以得到如下和声序列：<纯八度，纯五度，纯四度，大六度，大三度，小三度，小六度，小七度，三全音，大二度，大七度，小二度>
通过在钢琴上弹奏对比可知，越向左边的和声越“协和”，但也越空洞，就是好像只有一个音，不够饱满；越向右边的和声越“难听”，但也越饱满。人们根据这一特征，将和声的协和程度分为“极完全协和”、“完全协和”、“不完全协和”、“不协和”与“极不协和”五类，如下图所示：
图12 各音程的协和程度
我们做一个实验来验证。比如C4和G4之间是完全协和的纯五度，他们的弦长比是3:2，最小公倍数是6，那么他们的拍音频率就是弦长为C4弦长2倍的弦所发出的声音的频率，显然就是C3的音。我们可以在在线钢琴上同时按下i（C4）和x（G4）键，然后试着同时按下i、x和q（C3）键听一听效果。可以感觉到C4和G4把C3增强了。同理，A6和B6这两个小二度音程的弦长比是16:15，最小公倍数240，拍音频率对应的音为B2，然而B2与A6和B6相隔太远了，我们无法听出拍音增强的效果。
和声理论已经发展为一门学科，称为和声学，内容是相当复杂的，这里只做简单的科普性介绍，感兴趣的同学可以阅读《和声学》。
四、总结
这一讲的内容是所有乐理中最复杂，也最困难的。但只要过了这一关，后面的内容就会轻松很多了。
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通过前面的课程的学习，我们已经掌握了计算五线谱中任何一个音的音高（频率值），并且学习了音的组和方法：和声。这一讲将以这些知识为基础来介绍和弦与调式理论。这些内容中数理方面的并没有之前的课程那么多，但感性的成份却是比较丰富的，且要求记忆的东西也多了一些。不过，仍然先是历史课。
一、乐理发展史 · 之三
上一次的历史课已经研究了人们是如何用五度相生律构造出7音阶的过程，并知道这7个音分别是：{1, 1.125, 1.265625, 1.333, 1.5, 1.6875, 1.8984375}，它们对应的音名是：{C, D, E, F, G, A, B}。后来人们不断的改进音阶的生成方式，并增加纯八度音程内的音数，直到十二平均律这一黄金律制产生。今天我们就来研究7音阶是如何演化为12音阶的。
随着制作工艺的不断进步，乐器的音准越来越高，人们慢慢意识到五度相生律产生的7音阶与理想曲线相比误差实在是太大了。我们现在知道，当相邻的音都为等比关系时，音阶才最平滑。而原始7音阶中的第3个音和第7个音看起来是那么突兀，这样构造出来的音乐确实不够好听。后来有人提出“纯律”学说，但究竟是谁最早提出的至今还存在争议。有人认为纯律和五度相生律都是毕达哥拉斯提出或整理的，也有人认为纯律在中国2400年前的战国时代就已开始应用，还有人说是古希腊学者亚理斯托森努斯发明……不过可以肯定的是纯律在2000多年前就已被人类所掌握。纯律构造音阶的方法与五度相生律不同，它是由纯五度（2:3）和大三度（4:5）为素材确定7音阶的律制。纯率生成的7个音的频率分别是：{f, 9f/8, 5f/4, 4f/3, 3f/2, 5f/3, 15f/8}。嗯，确实比五度相生律的那些巨大的分数简单多了，那他的平滑度怎么样呢？请观察图1。
图1 五度相生律音阶（蓝），纯律音阶（绿）和理想音阶（橙）对比
好是好点，不过就那么一点点而已，而且还打破了五度相生律产生的内部协调性。此外7个音也开始显得不够用了，人们希望通过变调使得音乐更加丰富，看来还得继续探索。
之前人们为了计算第7个音，就要计算2/3的5次幂，这对于2000多年前的计算水平来说确实有点难了。然而数学的发展又一次给音乐带来了新生。人们通过计算发现，2/3的12次幂约为129.74634，约等于基准频率f上面的第7个八度音的频率f×28=128ff×28=128f，那么可否继续应用五度相生律再产生一些音呢？看下表：
n频率倍率
13f/21.5
29f/42.25
327/83.375
481f/165.0625
5243f/327.59375
6729/6411.3906
72187/12817.0859
86561/25625.6289
919683/51238.4434
1059049/102457.6650
11177147/204886.4976
由这些倍率产生的12音阶为（用倍率除以它下面的第一个2n2n而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656, 1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他们画在坐标系中，请观赏图2。
图2 五度相生律产生12音阶（新产生的五个音为绿色）
震惊了吗？多么平滑的一条折线，而且新产生的音都被“均匀”地安插在了原先的7音阶中间。我们不得不惊叹造物主的神奇，这也是音乐是世界上唯一通行的语言的原因吧！由于之前的七个音和它们的音名{C, D, E, F, G, A, B}已经非常流行了，且新产生的音都可以看作是用原7音阶中的某个音升半音而得，因此这5个新产生的音就被叫做{C#, D#, F#, G#, A#}，这也正是为什么E和F、B和C之间是半音的原因。
看起来已经很完美了，还有改进的空间吗？答案是有的。尽管五度相生律生成的12音阶已经相当平滑了，但仍然不是理想的“等比”音阶，这样就会导致一个潜在的问题。我们举例来说，大家都在KTV唱过歌，应该知道有些KTV的点播机有升降音的功能，当伴奏比较高而人声又吼不上去时，可以用降音功能把伴奏的音高统一降低一些，这样听起来仍然是非常自然的。比如一首歌原先的音的序列是，降低半音就是：。听起来仍然非常自然的原因在于这一序列内部的音程比例关系没有变，仍然是以2–√12212为基准的。在音乐术语中，这个过程叫做转调。然而要在五度相生律生成的12音阶系统中进行转调就会产生偏差，因为它内部的音程比例关系不是固定的。设想一群乐师给皇帝演奏曲目，乐器的音准都是预先调好的，结果皇帝一时兴起想高歌两句但又唱不上去高音，就命令乐师低两个音演奏，结果听到的伴奏完全不是刚刚那么回事了，这是多么尴尬的一件事。
图3 至今仍有一些古老的乐器难以实现转调
后来人们又想出了各种修正的办法，比如构造一些等差数列来修正每个音与理想曲线的误差等等，但这些方法既复杂又不能从根本上解决问题。这时整个音乐界都在急迫的等待新律制的诞生。直到公元17世纪的明朝人朱载堉提出十二平均律，并由利玛窦带到西方，才拯救西方音乐界于水火之中。虽然十二平均律看起来那么完美，但也不是完全没有问题。有人认为十二平均律破坏了纯四度和纯五度的协调关系，也就是说我们之前讲的F音应该是C音频率的4/3=1.33333倍，G音应该是F音的3/2=1.5倍，而在十二平均律中它们的倍率分别是：2512≈1.334842512≈1.33484和2512≈1.498312512≈1.49831。其实所差无几，不是吗？在通常的演奏音域范围内，人耳几乎是不可能听出这些区别的，这也是十二平均律沿用至今而五度相生律和纯律都已遭淘汰的原因。
世界三大律制：五度相生律、纯律和十二平均律的故事就讲完了，今天的历史课可能有点枯燥，我们来听点音乐调节一下吧：
郎朗演奏肖邦《英雄波罗乃兹》
二、和弦
和弦（念“xian”，不念“xuan”，通常发儿化音）原指弦线，在音乐理论里，是指组合在一起的两个或更多不同音高的音。在欧洲古典音乐及受其影响的音乐风格里，更多时候是指三个或以上的音高组合。和弦的组成音，可分开演奏，亦可同时演奏。分开演奏的，我们称为分解和弦。
和弦的结构类型很多，如果按照组成音的多寡来区分，和弦可以分为三和弦、七和弦及九和弦等。三和弦是由三个音组成，七和弦是由四个音组成，九和弦则由五个音组成。如果按照和弦组成音之间的音程结构来分类，又可分为大和弦、小和弦、增和弦和减和弦四种形态。
1. 三和弦
以任意一个音n1为基准，称为根音，向上三度得到n2，向上五度得到n3，这三个音的和弦称为三和弦。三和弦可以再分为大三和弦、小三和弦、增三和弦和减三和弦。这些三和弦的构成如下表所示：
名称[n1,n2][n1,n3]
大三和弦大三度纯五度
小三和弦小三度纯五度
增三和弦大三度增五度
减三和弦小三度减五度
上表中[n1,n2]表示从n1到n2的音程，[n1,n3]表示从n1到n3的音程。注意增五度就是小六度，减五度就是三全音，这是在上一讲中提到过的异名同音现象。接下来我们就用钢琴的音阶来举一些三和弦的例子。
图4 钢琴白键之间的音程
如果你已经完全理解了上一讲的内容，很容易就可以推算出图3所示的对应关系。C和E两键之间共有两个全音，因此是大三度，C和G是纯五度，那么C、E和G三个白键就构成了大三和弦，请在在线钢琴上试弹（对应键盘上的T、U和O）。C和Eb（E左边的黑键）是小三度，那么C、Eb和G三个键构成了小三和弦（在线钢琴的黑键可以用鼠标点）。同理可知：C、E和G#（G右边的黑键）构成增三和弦，C、Eb和和Gb（G左边的黑键）构成减三和弦。
需要注意的是，如果换一个音作为起始，那么和弦对应的键位就会发生明显的变化，且发出的声音色彩也会完全不同。以A为根音的大三和弦是A、C#和E，小三和弦是A、C和E，增三和弦是A、C#和E#，减三和弦是A、C和Eb。12种大三和弦对应的键位如图5所示，可在在线钢琴上试弹，要按从左到右，从上到下的顺序依次试弹每个大三和弦，每个三和弦的三个音以12321的顺序按下。
图5 所有大三和弦的钢琴键位
用电脑键盘来按键是比较方便的，如果您找不着键位，下面给出了试弹的按键序列。注意大写字母要同时按下shift键和字母键，这就是黑键的按法，空格处稍做停顿。
tuout TiOiT yIpIy YoPoY uOaOu ipspi IPSPI oadao OsDsO pSfSp PdgdP aDGDa
将每个大三和弦的n2音降半音，可得到一共12个小三和弦，它们的按键序列为：
tYoYt TUOUT yipiy YIpIY uoaou iOsOi IpSpI oPdPo OADAO psfsp PSgSP adGda
通过比对我们可以听出，小三和弦的“协调”程度不如大三和弦，这一原因请朋友们用之前学习的和声理论进行分析。增三和弦和减三和弦的情况与之类似，朋友们可以自行推算所有增三和弦与减三和弦的音名。
2. 七和弦
七和弦比三和弦多加一个音n4，它于n1的音程为七度。七和弦又分为：大小七和弦、大七和弦、小七和弦、小大七和弦、增七和弦、增七和弦和半减七和弦一共7种，每一种七和弦的音的配置参见维基百科，此处不再赘述。
有了和声与和弦理论，就可以进入更高一级的主题，那就是调式与调性。
三、调式
先给出调式的定义：调式是若干个具有不同音高的音的集合，这些音互相之间具有某种特定的音程关系，并在调式中担任不同的角色。调式是决定音乐风格最重要的因素之一，调式和调性结合，决定了该段音乐所用的调。
现在最常使用的调式大体分为大调式和小调式两种，又细分为自然大调、旋律大调、和声大调、自然小调、旋律小调、和声小调等等，但无论哪种调式都具有7种不同的音，依次分别称为：主音、上主音、中音、下属音、属音、下中音和下主音，其中下主音有时也称作导音。这什么会有这样的名称呢？回顾我们上一讲提到的五度相生律就会明白：主音生属音，而中音位于主音和属音之间，主音下面是下主音、上面是上主音，属音下面是下属音，属音和下主音之间的另一个中音称为下中音。额，还是很麻烦呐，只能死记硬背了。。。不过还有另一种福音命名法：主音、I级音、II级音、III级音、IV级音、V级音、VI级音和VII级音（“福音”二字是我给起的，呵呵）。不同的调式规定了这些音之间不同的音程，但不规定音的具体音高。也就是说调式仍是建立在以十二平均律体系为基础的相对音高系统之上的。调式系统里最重要的是自然大调和自然小调，这两个自然调式一定要熟记，下面分别学习。
1. 自然大调
自然大调是最常见的调式，大多数流行歌曲都采用自然大调。自然大调的规则是：除了“中音和下属音”，“下主音和主音”这两对音之间的音程是小二度之外，其他相邻两音之间都是大二度 （音数为1，即1个全音）。因此一个自然大调从主音开始依次往高的音程可以这样来记忆：“全全半全全全半”，这也就是著名的大调音阶。而一个主音到下一个主音之间的音程刚好是纯八度，也就是将一个主音当做1，计数到8的那个音与主音的音程。这下我们终于知道为什么叫做“纯八度”了，呵呵。
图6 一个典型的大调音阶
图6是一个最简单的大调音阶，不包括任何的升降标记。其中音符下方的弧线代表全音音程，上方的折线代表半音音程。我们可以在在线钢琴上试弹一个大调音阶，对应键盘上的按键是：tyuiopas。
2. 自然小调
自然小调是和自然大调同等重要的调式，在古典音乐中应用非常广泛。它的音阶为“全半全全半全全”。看起来与自然大调音阶只是相位不同而已，但实际上由于作曲时要先定调，就像写程序先设计框架结构一样。定了调之后就有了主音以及其它音的相对音高关系，而作曲时都要围绕主音进行。以主音为根音的三和弦称为主和弦，大调使用大三和弦，而小调使用小三和弦，因此听起来是有很大差异的。
图7 一个典型的小调音阶
图6所的小调音阶为<A3 B3 C4 D4 E4 F4 G4 A4>在在线钢琴上对应的键盘按键是：ertuyiop
3. 其它小调式
大调一般只有一种，就是自然大调。苏联老毛子发明的什么和声大调、旋律大调都是瞎胡闹。但小调还分为和声小调、旋律小调和现代小调三种，但都比较少见，有些只在特别的音乐类型中出现，比如现代小调一般只出现在爵士乐中。
为什么小调会出现变种呢？这是因为小调有着天生的缺陷。自然大调的下主音和主音之间的音程是半音，即小二度，很好的体现了对主音的倾向。举例而言，从一个大调音阶<C、D、E、F、G、A、B、C>中的B到C的过渡是非常自然和平缓的，这样作曲时就方便的使用跨越纯八度的和声。然而小调的下主音和主音之间的音程是全音，即大二度，欠缺了倾向主音的性质，因此人们就尝试将自然小调音阶的导音提升半音，这样就得到了和声小调音阶。旋律小调和现代小调就更加复杂一些，牵扯不同的上行音阶和下行音阶，这些过于专业的内容就不再赘述了。
4. 大小调关系
前面所说的绝对音名相同但相位不同的大小调称为关系调，比如降E大调（降E大调是指该调采用的主音为Eb）的关系小调叫做c小调，降E大调音阶是，c小调的音阶是，可以看出它们采用的音名都是相同的，但做了移相。因此从升降号上是无法区分大小调的，但是通过观察谱子里使用的主音就很容易区分了。现在朋友们的基础知识不够，等一下讲介绍了调性理论后，我们会来练习从谱子中看出调式与调性。
大调一直以来都是作曲家钟爱的调试，而相比之下小调的音乐就比较少了，古典音乐里二者还相差不多，但流行乐中的小调就少得多了。这主要是因为小调的歌唱性没有大调强，常用来表达负面的情感，比如悲伤、阴沉、恐怖等，在电影、游戏中的背景音乐中常可以听到。不过流行歌曲也是有一些的，比如《白桦林》、《爱的供养》、《伤心太平洋》等，国外的流行歌曲到是多一些，而且有人研究发现：从1960年代以来越来越多的流行歌曲是以小调作曲的。。。
四、总结
这一讲我们学习了和弦理论以及调式系统的相关分类，详细介绍了自然大调和自然小调两种最主要的调试和他们的关系，都是属于比较枯燥的内容。但这些东西不讲，下一讲的调性理论就没办法展开，这也是基础乐理中关于音高的最后一部分内容了。同志们，胜利在望啊，请继续坚持！另外，感谢朋友们的支持，我也会继续努力的。
这一讲是乐理中有关音调知识的终曲，不过我们还是从历史讲起。
一、乐理发展史 · 之四
前面的历史课我们了解到“确定相对音高”的律制系统是如何在人类的历史长河中慢慢演化，直到形成今天广泛应用的十二平均律系统。这次历史课我们主要回顾用来“确定绝对音高”的记谱系统的发展历程。
在人类音乐史上曾经出现过很多种不同的记谱法，大致可分为三大类：文字谱、符号谱和线谱。有不少学者认为文字谱和符号谱应该归为一类，但在下愚见认为，这二者处于不同的发展阶段，且由于文字系统的复杂性（表音文字和表意文字等），文字谱的意义与符号谱是完全不同的。闲言碎语不多讲，我们进入正题。
尽管世界上任何一个地方的人类都在数千年前就开始创造音乐了，但是由于东西方文明的巨大差异，导致发展出了完全不同的记谱系统。早在公元前25世纪，古埃及人就已经制造出了至少几十种各不相同的乐器。尽管现在已经无法考证古埃及人是如何记录音符的，但几乎可以肯定的是：他们已经发展出了比较完善的音乐理论，并且使得每一种乐器都能够合理的校准来配合大型乐队的演奏。
在东方，最古老的乐谱出自于华夏文明，春秋时期的《礼记·投壶》记载了至今发现的最古老乐谱：鼓谱，它是用符号方框和圆圈记录的。到汉代司马迁的《史记》“律书第三”中写到：“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵（念zhi，三声）。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。”。它的意思是取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为“宫音”。然后将81乘上2/3，就得到54单位，定为“徵音”。将徵音的竹管长度54乘上4/3，得到72单位，定为“商音”。将商音72乘2/3，得48单位，为“羽音”。羽音48乘4/3，得64单位，为“角音”。而这宫、商、角、徵、羽五个音高，被称为中国的五音。这种音律方法称为“三分损益法”。
后来人们继续应用三分损益法构造出了另外7个音，并给这一共12个音都起了名字。与现代音名的对照分别是：黄钟（C），林钟（G），太簇（D），南吕（A），姑洗（E），应钟（B），蕤宾（Gb/F#），大吕（Db/C#），夷则（Ab/G#），夹钟（Eb/D#），无射（Bb/A#），仲吕（F）。以这些音名第一个字作为简写就是中国古代使用最广泛的记谱法：“乐律谱”，它属于文字谱的一种。
但是乐律谱的记载太麻烦了，因此人们又发明了“工尺谱”。唐朝已经有工尺谱，传到宋朝极为流行。它具有7个唱名：上、尺、工、凡、六、五、乙，大至对应于西方的{Do, Re, Mi, Fa, So, La, Si}。相信最初工尺谱是某种乐器的乐谱，是固定音名，但后来在不同乐器和乐种广泛流传以后，工尺谱逐渐变成不固定的唱名。
图2 清·张鹤《琴学入门》（点击放大）
工尺谱是一种符号谱，但它并非一种精确的记谱法，有很大的空间让表演者作即兴发挥。在传统中国音乐里，乐谱只是一个记载的媒体，表演者并不会完全依据乐谱演奏，他可以加花（加上装饰音），在节奏上也有一定的自由。至于如何演奏才是合适的手法，是约定俗成的，以师父传徒弟的口授心传的方式继承。因此不同流派会有不同的演绎风格，这也是导致中国古代乐理水平进步相当缓慢的主要原因。
西方最早的乐谱出现在古希腊，当时是刻在石碑上的符号谱，难记难读，流传很少。到公元9世纪时出现了写在羊皮纸上“纽姆谱”，见图3。
图3 纽姆谱记录的圣歌（公元9世纪）
后来人们觉得用符号表示音符实在太过麻烦，就尝试在音符间加了一条线，用这条线来代表一个标准音高。后来人们又开始增加线的数量，到11世纪，意大利乐理大师桂多通过对纽姆谱的改进，发明了四线谱，并发从一首圣歌的歌词中提取出了六个音的唱名ut、re、mi、fa、so、la。这就是五线谱和七唱名的前身。
图4 11世纪的纽姆谱
图4所示的古代纽姆谱看起来已经相当接近于现代的五线谱了，不是吗？但是在16世纪之前，西方一直没有一种统一的记谱法，符号的、一线的、两线的、三线的、四线的都有。直到公元十六世纪，五线谱诞生之后才逐渐一统江湖，形成全欧洲音乐人的标准记谱法。而五线谱的真正普及则是发生在17世纪，巴洛克时期的事情了。
图5 巴赫的手稿（1726年）
这时的五线谱就已经和现代五线谱基本相同了。有了统一的记谱法，各地的音乐家们开始更为广泛的沟通和交流，而这时人们慢慢地意识到制定标准音高的重要性。要知道一个17世纪的英国教堂管风琴，使用的音高可能就比同城市中平民使用的键盘乐器低了五个半音。这样的情况对于音乐交流来说简直就是灾难。在1720年的英国音笛演奏中央A的频率为380Hz，而巴赫在汉堡市、莱比锡及魏玛等地使用的管风琴则以480Hz表示同一个音符，这两者约差四个半音。换句话说，1720年的英国音笛演奏的A音在巴赫那边会被认为是F音。
自18世纪早期，音叉（于1711年发明）的使用确实为音高带来了一个可靠的标准，然而差异仍然无法避免。比方说，亨德尔在1740年使用对应为A音的音叉，其频率为422.5赫兹，但在1780年时他使用同样对应A的音叉则有不同的频率：409赫兹，后者低了将近一个半音。不过，到了十八世纪末，中央C上的A所使用的频率渐渐地演进成在400赫兹到450赫兹之间。
上面提到的频率乃是经过现代仪器测量所得，当时的音乐家并没有方法得到如此准确的数值。虽然马兰·梅森在16世纪早期便对声音的频率有了初步的了解，直到十九世纪，在德国物理学家约翰.施布雷在1830年所做的努力之前，人们都没有足够精确的科学方法测量频率。至于用赫兹取代每秒循环次数，则是直到20世纪才做出的改变。
法国政府曾在1859年2月16日通过了一个法案定义中央C上的A为435赫兹。这是把音高尺度标准化的第一个尝试。这个标准之后在法国之外也非常流行，随着时间发展它渐渐从法国音高、大陆音高，最后甚至被称为国际音高。这个标准音域使得中央C的频率调整为约258.65赫兹。而另有一个称为“哲学的”或“科学的”的音高标准，把中央C定义为256赫兹，为此必须把A音调为约430.54赫兹。由于此法提供了一些数学上的便利，所有的C音都是二的次方（C1=32、C2＝64、C3＝128、C4＝256），因此也得到了一些的支持者（包括我在内，呵呵）。不过比起A = 435赫兹，此法并没有得到官方的认可，也因此没有被大量采纳、使用。此种频率规格即称为“物理学音高”。
1926年，美国乐器厂商首先制定了以440Hz作为A音的标准，并以此标准生产乐器。要知道那时的美国音乐实力已经强大到足以与欧洲抗衡，而美国的乐器则更是行销全球。因此到1936年美国标准委员会正式推荐将中央C上面的A音的频率定为440Hz。1955年，国际标准委员会ISO正式接受这一推荐，A-440就成为了ISO的第16号标准。从那时起，全世界的音乐就都在一个调上了。
关于音调的历史大概就是这些了。接下来我们就具体研究一下，这些调到底是什么调。
二、调性
有了十二平均律，转调不再成为问题，因此人们就能够以不同的音为主音按大调式或小调式构造出不同的音阶，这些设定了主音的音阶序列就称为调性。先来研究大调式的所有调性。
我们已经学过大调的音程关系为“全全半全全全半”，那么从12音阶中的任意一个音作为主音都可以得到一个调性。再次列出12音阶的音名：
01234567891011
CC#/DbDD#/EbEFF#/GbGG#/AbAA#/BbB
调性的名称就是主音的音名，12音阶中有7个音名是不带升降号的，因此以这些音为主音的调性的名称是统一的。然而还有5个音都具有两个音名，例如第2音可以用C#表示也可以用Db表示。这样一来调性的命名就变得混乱了。为了统一命名方式，人们规定这12个调性的名称分别为：{C, G, D, A, E, B, F#, Db, Ab, Eb, Bb, F}，并规定以C、G、D、A、E、B、F#为主音的调性用升号#标记五线谱的升降，其它调性用降号b标记五线谱的升降。
首先我们很容易就可以做出C大调，因为以C为主音的7音阶<C D E F G A B>都不带升降号，因此C大调谱是没有升降号的，见图6所示。
图6 C大调音阶
根据之前所学知识，我们很容易构造出其它大调，构造所有小调的原理也相同。这样我们就一共可以获得12个大调和12个小调。其中12个大调见图7所示。
图7 除C大调外11个大调的音阶（Gb和F#实为同一个调）
由于Gb调中每个音符都降了半音，F#调中每个音符都升半音的本质是相同的，因此和它们是同一个调。此外，有些谱子会用7个降号来表示Cb大调，实际上C降半音就是B，那么Cb大调就是B大调。还有7用个升号表示C#大调，C升半音就是Db，因此C#大调就是Db大调。这样一来，Bb大调所有音升半音就得到了B大调，Eb大调所有音升半音就得到了E大调，F#大调所有音降半音就得到了F大调，其它的升降大调也是相同。大调确定了，关系小调也就可以确定了。为了便于记忆这24个调，有人发明了五度圈图示法，见图7所示。
图7 调性五度圈
在五度圈的最外圈是大调的12个调性，内圈是各大调对应的关系小调。顺时针相邻两个大调的主音相差五度，小调亦然。圈里面的数字是该调性的五线谱中升降号的数量。最顶上的C大调没有任何升降号，顺时针方向升号依次增多，逆时针方向降号依次增多。最下面的Gb调和F#调实际上是一个调，只是记谱不同而已，可使用6个降号表示，也可使用6个升号表示。
对于五度圈右边的每个升号大调，从F开始以逆时针方向数，到它前面的2格为止，都是它的音阶中要升半音的音符，例如E大调的音阶中F、C、G、D都升半音，对于B大调的音阶中，F、C、G、D、A都要升半音。对于左侧的降号大调，则是从B开始以逆时针方向数，到它正对面调都是它的音阶中要降半音的音符，例如Ab大调的音阶中B、E、A、D都要降半音，Db大调的音阶中B、E、A、D、G都要降半音。
五度圈还有一些规律要知道，从任何一个音开始逆时针数，第一个音与它的音数是2.5；顺时针数第一个是3.5。这个规律可以帮你用五度圈来推算音程。比如要求G到F#的音程，从五度圈可知F#是G顺时针方向第5个，(5*3.5)%6=5.5，即大七度。再看从F到Ab，是逆时针第3个，(3*2.5)%6=1.5，即小三度。取模神马的对码农来说简直弱爆了，呵呵。
用上面的规律和方法，我们可以从五度圈中可以推导出所有的音程关系、音阶和调性，因此说大半的乐理都在五度圈里了。但它的结构复杂，被众多文艺生视为洪水猛兽，对于理工科人如何呢？告诉您一个小技巧那就是肥猫下楼吃面包的故事。上午11点，猫饿了，所以FatCatGoDownAndEatBread； 到下午6点猫又饿了，再次GoDownAndEatBread。也就是说从五度圈的11点开始，顺时针方向依次是FCGDAEB，从6点钟开始又是GDAEB，由于是晚上这些音都要降半音，即在后在面都加个b。这样就好记多了吧？为了方便朋友们复习和查阅，我制做了一幅音程表和五度圈的一体图，见图8。
音程与音数的对应记忆起来稍难一些，但是也有技巧。音程口决是：“小大小大纯三纯，小大小大纯”。前7个从小二度开始，后5个从小六度开始。掰指头数一下这个音程排在总第几位，除以2就是它的音数。比如小七度排在第10位，音数就是5。
到这里所有有关音调的基础乐理就介绍完了，有不周之处，请多担待。不过如果您把之前的课程都认真的学通了，那么这些乐理知识足以让您在学习任何乐器时都不会对音和调的问题产生困扰。此外，如果您还想尝试音乐创作或评论，这些内容也是重要的基本功。
三、总结
本还想加入一些赏析的内容，但是由于我要忙其它的事情，因此没有时间来写了，等后面再补充吧。
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