当我们说一个数存在的时候,我们是什么意思呢?
当我们说一个苹果存在,这很好理解。苹果就是存在于现实世界之中嘛。
一个数存在,那存在于哪里吗?是纸上吗?电脑里面吗?人脑里面吗?
都不是。
让我们仔细想想,有没有不存在的数?
有的,2和3之间的自然数就是不存在的。
为什么2和3之间的自然数不存在?因为,根据自然数的定义,根据“之间”的含义,没有一个自然数能即大于2又小于3。
好了,我们现在明白了什么数是不存在的。那就是违反定义的数,都是不存在的。
那数的定义究竟是什么呢?
最早,我们不知道无理数的存在。我们以为数全都是整数,所有的数都可以用整数的比来表示。但我们发现一个很奇怪的事,那就是边长为1的正方形,其对角线无法用两个整数的比来表示,这引发了第一次数学危机。起初大家不承认无理数,传说,第一个发现根号2的人,被扔到了海里。
但后来,数的概念大大扩展了,从我们接受了无理数,看名字就知道,大家觉得这种数的存在很没有道理。但我们依然接受了,因为我们有了实数这个概念。
实数相当于一条数轴,数轴上的每一个点,都是一个实数。我们可以借助圆规和尺子,来标记出根号2这样的无理数的位置。
再后来,我们还有了复数的概念。连正无穷和负无穷都可以被看作是数。
凡是与定义相矛盾的数,都是不存在的,甚至不可称其为数。凡是没有与定义相矛盾的数,都是存在的。根号2也是如此。
数并不需要在自然界中存在,因为没有数在自然界存在。而表达数的方式有很多种,有的数以分数的形式出现,有的数以小数的形式出现,有的数还带有运算符号,有的数因其特殊地位使用专有符号来标记。当一个数能够称其为数时,它便是存在的。
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