前面我们提到两大变（ “变分の美”和 “Legendre变变变”）， 那么一直在变的话，什么时候不再变呢？ 这就是我们今天想概述的。 所谓物极必反， 又所谓螺旋式上升， 再所谓三十年河东，三十年河西。 一句话,变多了就想怎么不变？或者说变到不能再变！ 把今天所描述的"不变"想的明白的是在“变分の美” 最后提到的哈密尔顿 Hamilton.
Hamilton 是何方神圣？
William Rowan Hamilton 是来自爱尔兰（Ireland, Irish）的物理学家（1805年），数学家。 老爹是个推销员， 家住都柏林。 3岁那年，被狠心的老爹交由他叔叔代养， 他叔叔大学毕业， 算是个语言学家， 拼命的给他灌输各种语言， 没想到最后灌成了数学家。 但这个家伙的确是个神通，5岁能读拉丁文、希腊文和希伯来文，14岁竟然掌握了12种语言。 还记得《红与黑》里面的于连么？人家只会一点拉丁文就鸡窝里面飞出金凤凰了。 哈密尔顿，这还得了。但是在他9岁那年， 他遇上了美国速算神童Zerah Colburn， 那时候美国还比较穷， 来爱尔兰大都市赚钱， 哈密尔顿和人家杠上了， 当然是输了， 人家炼过的。 但是这一输，激发了少年天才拼了命的学数学。犹如滔滔江水， 一发而不可收拾， 在他18岁那年，进入了大学， 遇上了爱尔兰天文学主席， John Brinkley博士， 他这么评价18岁的哈密尔：这个年轻人， 不要说将来， 现在就是他这个年代NO.1的数学家（ 'This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.'）。 所以要学好数学， 儿童时期，不要学数学， 炼文学和记忆力吧。
你看， 年轻青青， 才华冠绝当世， 却一辈子过得很不顺心。 所谓成也萧何，败也萧何，就是这么说的。 在他19岁那年（大一？）， 他的叔叔领着他拜访了他的一个朋友Disney。 年轻的Hamilton却一见钟情， 无可救药的迷恋上了人家的女儿Catherine Disney。他说Catherine是他见过唯一在思想上让他折服的女性（不知道第一见面，Catherine跟他谈了什么高大上，让Hamlitonadmired her mind）。 但是那时候Hamilton家境不好， 没办法搞定婚礼， 3年后， 女方妈妈告诉Hamilton， 女儿凯瑟琳嫁给了一位年长15岁的牧师，得到消息后的哈密尔顿极其痛苦， 可能自杀过，成绩也从“极优” 滑落到了“优”（无语了），从此哈密尔顿生活痛苦， 迷恋写诗发泄。 或许失恋触发了哈密尔顿的无情奋斗， 他成果斐然， 在感情生活绝望了9年后， 他找到了一个校长的女儿Helen Maria Bayly结婚了。 海伦比哈密尔顿大一岁， 但是一辈子并没有博得哈密尔顿的欣赏，哈密尔顿评价说“她可谓毫无智慧”。海伦身体不是很好， 但是两人有二男一女。 凯瑟琳晚年也过得不是很幸福， 和牧师没有太多共同语言， 晚年分居了， 在哈密尔顿的叔叔去世那年他们开始了邮件来往。 但是6年后，凯瑟琳就去世了，哈密尔顿却保持了继续和凯瑟琳家族通信，并且帮助过凯瑟琳的儿子。在凯瑟琳死前二周，哈密尔顿带着自己的四元法讲义“Lectures on Quaternions”去看了她。 或许跟女神汇报自己的最佳成果。在哈密尔顿死后（活了60岁），海伦再活了4年， 据说哈密尔顿死后， 海伦第一次从他的朋友那里收到了无数的信件。
哈密尔顿给女神凯瑟琳最后献礼的四元数是什么？
四元数相当于复数从2维空间扩展到4维空间， 并且符号化的建立了空间旋转的关系。虽然目前高维空间投影和旋转都可以基于矩阵进行建模了， 但是对于4维以内的空间， 四元数还是有着定制化的优势： 高效，直观， 容易理解。
另外， 基于四元数对Cayley Graph克雷图的理解， 在算法应用上也有极大帮助。 例如如何非递归求解全排列？ 其中一种方式就是利用Cayley 图。
如何走近哈密尔顿？
哈密尔顿最斐然的成果是哈密尔顿系统的建立， 是自牛顿系统之后又一个伟大的突破。 据说， 你站在泰勒Taylor的肩膀上， 跨过拉格朗日Larange（参考“一步一步走向锥规划 - QP”），再携手勒让德Legendre（参考“Legendre变变变”）， 你就找到了哈密尔顿Hamilton。
突破变， 就是对爱的不变
哈密尔顿做到了， 最早源于他对傅里叶分析（Fourier analysis）的喜爱。 我们知道还有一位大神， 最早学文学的（历史系）， 然后上了一堂傅里叶变换的课程， 从而喜欢上了数学， 他就是Andrey Kolmogorov。Fourier变换也是一种典型的从变中找不变的神器。
如何为任意函数建模？
我们知道， 泰勒展开提供了对任意连续光滑函数（smooth function）的多项式（polynomials ）叠加的拟合， 这种拟合可以到任意精度要求， 并且可以根据需求对余项（remainder）多种表达形式。
举个指数函数的列子：
再举一个三角函数（sine）的例子（sin（x））：
所以， 我们要表达一个任意函数， 我们只要提供各阶导数， 然后我们就可以利用多项式进行按精度要求的拟合。
那么根据泛函的思想， 参考“变分の美”， 如果利用一阶泰勒展开， 要变换函数， 只要变换x,f(x),f'(x)， 就可以了。
如何引入泛函目标表达式？
我们有了函数的任意表示， 那么把函数看成输入参数，然后建立目标公式， 我们就得到了拉格朗日量（Lagrangian）：
那么根据EL公式Euler-Larange Equation的思想， 参考“变分の美”， 可以得到向量化（vectorization）后的公式。
至此， 我们离哈密尔顿的不变就差不太远了。
哈密尔顿原理的引入
根据向量化的欧拉公式， 可以引入哈密尔顿原理（Hamilton Principle）了。
就是积分系统的对于泛函的变换为零。
在这个推演过程中， 要用到一个变分法的基础引理（fundamental lemma of caculus of variations）：
哈密尔顿原理带来了什么变化？
这样我们从牛顿系统， 到了拉格朗日系统， 再到了哈密尔顿系统， 那整个这个过程到底做了什么？
从牛顿系统到拉格朗日系统， 坐标系更为通用， 并且引入了泛函。 而从拉格朗日系统到哈密尔顿系统， 引入了作用量 action integral， 并且不再受到坐标系的限制。
作用量积分是什么？
作用量积分（action integral）是对拉格朗日量（lagrangian）在两个不动点（stationary points）上的积分。 而哈密尔顿原理告诉我们， 这样的积分的变化为零， 也就是说是个不动的静态的作用量（stationary action）。
作用量积分有什么用呢？
在把作用量（action）定义成积分的形式后， 很明显，不同的路径q(t)会带来作用量的不一致。正是作用量对积分路径的依赖， 使得哈密尔顿的方法变得有意义。 为什么呢？哈密尔顿原理说， 存在一条路径使得作用量是静止stationary。 就是说这条路径发生一个极小的偏差， 在拉格朗日量一阶导的情况下， 带来的作用量的变化可以忽略不计。 这又是什么含义呢？
在“变分の美”里面有最短的是直线的证明， 那么我们用这个例子， 按哈密尔顿原理，直接进行解释。哈密尔顿原理要求的那条路径，发生一个极小的偏差， 但是带来的作用量变化可以忽略不计。 因为作用量是对拉格朗日量的积分， 如果拉格朗日量的三个参量（x, f(x),f'(x)）的变化都可以忽略不计， 那么可以是看成作用量变化可以忽略。 因为本来是很小的偏差， 那么f(x)的变化可以看成不变。 但是f'(x)的变换是f''(x)。 因此我们看到哈密尔顿原理对路径的要求， 蕴含着f''(x)为零。 在这种情况下很容易知道，两点之间的直线路径满足这个要求。
什么是广义的坐标系（generalized coordinates）？
首先我们知道坐标系有直角正交坐标系和极坐标系。 而广义坐标系就是进一步放宽限制。 例如非欧几何里面就在曲面上建坐标系。
更直观的， 如果固定对线的限制， 对角的描述就会很不一样。
我们知道，牛顿系统定理的描述必须要求独立正交的坐标系。 但是在拉格朗日系统定理的描述，就能扩展到这些广义的坐标系。 这样有两个好处：可以随意的换适合对问题描述的坐标系。可以解决一些受牛顿系统描述限制而无法解决的问题。 其实， 这其中已经蕴含了对变化的系统去追求不变的道理的思想。
不要坐标系（nocoordinates）又指什么呢？
我们现在很清楚拉格朗日系统是如何突破了牛顿系统的， 那么哈密尔顿系统又是如何突破拉格朗日系统的呢？
因为哈密尔顿系统直接利用了导数和积分来对变化直接建模， 使得好多不需要坐标系， 但是又存在导数和积分的系统都可以使用哈密尔顿系统建模， 譬如能量， 熵， 势，角动量等等。 所以哈密尔顿力学Hamiltonian mechanics和哈密尔顿场论Hamiltonian field theory都有突破。哈密尔顿场论除了广义坐标系， 还对共轭动量conjugate momenta, 和时间time都有扩展。 而哈密尔顿力学主要突破就是对Symplectic manifold 辛流形（一个辛流形上的任何实值可微函数H可以用作一个能量函数或者叫哈密顿量。和任何一个哈密顿量相关有一个哈密顿向量场；该哈密顿向量场的积分曲线是哈密顿-雅可比方程的解。哈密顿向量场定义了辛流形上的一个流场，称为哈密顿流场或者叫辛同胚。）引入。
但是要注意，量子力学Quantum mechanics和量子场Quantum field theory的发展突破了经典的哈密尔顿力学和哈密尔顿场论， 最主要的是经典的还是属于确定性determinism的范畴， 而量子理论基本是概率范畴 （著名的薛定谔猫）。 譬如， 在最优路径上， 不是一条明确的路径， 而是按概率的无数条路径。 一句话， 最大的差别是哈密尔顿主要还属于经典范畴。
哈密尔顿量的诞生？
到现在为止， 还有两个疑惑， 一个是搞了半天，Legendre 勒让德还没有现身。 另外一个是， 既然有拉格朗日量， 为啥没有描述哈密尔顿量呢？
对的， 既然前面说了，哈密尔顿抛弃了坐标系， 直接拥抱了偏导数和积分。 我们知道，勒让德变换也有异曲同工之妙（参考“Legendre变变变”）。
勒让德变换让我们更为关注导数和截距， 这非常符合哈密尔顿的思想. 这样利用Legendre变换， 我们就可以改写作用量积分了。
基于哈密尔顿量来看哈密尔顿原理， 左边图的P向量就会对应右边曲面的脊。
左边的图描述了如下表达式，右边的图是研究的对象L。
有了Legendre的出场， 让stationary action原理（哈密尔顿原理）看上去是不是很神奇？！
另外稍微要注意的是拉格朗日量的不唯一性：
小结， 本文通过介绍泰勒， 拉格朗日和勒让德来介绍了哈密尔顿的思想。 伟大的哈密尔顿！
参考：
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Hamilton.html
http://wikibin.org/articles/helen-maria-bayly.html
http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap7en/part2.html
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/CM_04_HamiltonsPrinciple.html
http://users.physics.harvard.edu/~morii/phys151/lectures/Lecture04.pdf
http://www.eng.buffalo.edu/~kofke/ce530/Lectures/Lecture11/sld012.htm
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