博弈还真是有点意思

最近在看一本有关博弈的书，其中有几个例子比较有意思，展列在此，供大家消遣，前半部分是问题，后半部分是分析。在看分析之前可以先自己思考下。

海盗分赃

假如有五名海盗掠夺到了100枚金币，这时为了公平起见，他们决定按照如下思路分配：
1.首先，抽签决定自己的号码
2.其次，由1号提出分配方案，然后大家5人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
3.然后，假如1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4.最后以此类推，直到最终得出一个分配方案。
如果你是1号海盗，那么你应该提出怎样的分配方案可以使自己的获利最大？

巫婆吃公主

有若干个巫婆和一个公主居住在一个小岛上。如果一个巫婆吃掉公主，她就会变成公主。但是她会丧失自己的法术，就有可能会被其他巫婆吃掉。假如所有巫婆在能够保命的情况下都希望自己能够变成公主，假如有20个巫婆，那么公主能不能安全的生活在岛上呢？

海盗分赃博弈

乍一看，问题还是比较复杂，我们不妨将此问题进行简化。假如只有一名海盗，那么他当然希望所有的金币就是自己的啦。这种属于不需要分配，就可以占为己有的情况。这种情况下，这名海盗得到100枚金币。
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那么把这个模型稍微复杂一点儿，如果有两名海盗。那么如果先分配的1号海盗给2号海盗的金币少于100枚，2号海盗就会不同意他的分配方法。按照规则，1号海盗被扔到海里喂鲨鱼，之后对于2号海盗就回到了之前的简单模型，即可以独享100枚金币。想到这里，1号海盗就会为了保命而选择把100枚金币全部给2号海盗，以避免丧命。
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接着，再把这个模型复杂一点儿，如果有三名海盗。那么这时的1号海盗已经知道之前的情况了。如果他被丢到海里喂鲨鱼了，那么2号海盗就会代替他进行分配，就意味着如果2号海盗不同意他的分配方法就一定会为了保命而什么都得不到。这时候，1号海盗就是留给自己99枚金币，给2号海盗1枚金币。这样一来2号海盗一想，有总比没有好啊。3号海盗什么都没得的肯定不会同意。不过没有关系，算上1号海盗自己的一票和2号海盗的一票，已经二比一了。满足分配的条件。所以如果有三名海盗的话，1号海盗得99枚金币，2号海盗得1枚金币，3号海盗什么都得不到。
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然后，我们再将模型复杂一点点，如果有四名海盗。这时候1号海盗已经熟知了之前的情况。当他的给出的方案不能得到三票赞同的话，就意味着2号海盗继承他的位置，2号海盗得99枚金币，3号海盗得1枚金币，4号海盗什么都得不到。除了自己的一票之外。他还需要两票赞同。显然的如果给2号海盗少于99枚金币的话，2号海盗肯定会反对。但是如果只有自己一票和2号海盗的一票，3号海盗和4号海盗还是会反对。这样就不能满足超过半数赞同的条件了。那么这时候，1号海盗只能选择不分给2号海盗任何金币。去试图征得3号海盗和4号海盗的赞同。那么只有分配给3号海盗2枚金币，4号海盗1枚金币。就会赢得他们的赞同。因为如果这时候3号海盗和4号海盗不赞同他的方案的话，自己的获利必然就会受到损失。所以当有四名海盗的时候，1号海盗分配给自己97枚金币，2号海盗不分配，3号海盗分配2枚金币，4号海盗分配1枚金币。
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最后，我们来考虑有五名海盗的情况。这时，1号海盗知道了如果自己的方案不能通过，就意味着2号海盗分配给自己97枚金币，3号海盗不分配，4号海盗分配2枚金币，5号海盗分配1枚金币。同样的道理，1号海盗放弃拉拢2号海盗。只要给3号海盗1枚金币，3号海盗就会同意之前的分配方法。这时只需要从4和5中任意选一名海盗支持自己就可以获得三票了。可以选择的是给4号海盗3枚金币，或者5号海盗2枚金币。那么这时候1号海盗必然选择给5号海盗2枚金币。因为这样能让自己获利更多。所以如果有五名海盗按照之前的规则分配金币的话，1号海盗的最佳分配方案是自己获得97枚金币，2号和4号海盗不获得金币。3号海盗获得1枚金币，5号海盗获得2枚金币。

巫婆吃公主博弈

我们还是来建立一个比较简单的模型，然后一点点的复杂化，就可以知道答案了。
假如有一个巫婆和公主生活在岛上，那么巫婆肯定会吃掉公主。因为她知道如果她吃掉公主之后，也没有人能威胁她了。所以按照题目中所述的所有巫婆都想要变成公主。那么她一定会吃掉公主来满足愿望的。
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那么如果有两个巫婆和公主生活在岛上公主会不会安全呢？答案是肯定的。因为如果谁先吃了公主的话，就会变成一个公主和一个巫婆的情况，那么先吃掉公主的巫婆就会被另一个巫婆吃掉。为了保命，两个巫婆都不敢去吃公主，所以公主会是安全的。
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接下来再把模型复杂一点。如果有三个巫婆的话，这三个巫婆中肯定有一个巫婆会先吃掉公主。因为这样就变回了之前的情况，剩下两个巫婆谁也不敢吃她。因为先吃她的人肯定会被另一个人吃掉。
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然后再把模型复杂一点点，当有四个巫婆的时候。如果有谁先吃了公主，马上就会变成三个巫婆的情况，那么谁也不敢先吃公主。所以公主是安全的。
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根据这样的规律我们发现，当岛上有奇数个巫婆的时候，先下手为强的巫婆就会吃掉公主。当岛上的巫婆是偶数个的时候，所有巫婆都不敢先吃公主，以避免变为奇数个巫婆的情况之后自己被吃掉。我们就得出了这样的结论：当岛上的巫婆是偶数个的时候公主能安全的生活在岛上。题目中所说的岛上有20个巫婆。20显然是个偶数，所以公主能安全的生活在岛上。