美好的夏天就要来了，为了健康，为了穿衣好看，必须开始减肥了。运动是减肥利器，我们就来建一个微分方程模型看看怎么定量分析。微分方程模型听起来高大上，但是有几个关键点想明白后，真心觉得和做一般的应用题一样了。好吧，希望通过这个例子，我们大家都能找回初中做应用题的状态。

一、 寻找包含变化率的等式

回忆一下初中解应用题的时候，我们建立方程都是在变量间找到一个等式。根据这个思路，微分方程的等式也是这样寻找。
减肥减掉的是脂肪，把脂肪变成能量消耗掉。那就从脂肪和能量的变化中寻找存在的等式。假设消耗的能量都来源于分解脂肪，多余的能量都变为脂肪储存起来。
从能量守恒定律出发。我们每天
摄入的能量 = 消耗的能量 +（分解/积累）脂肪对应的能量
假设一段时间内体重只和脂肪的增减相关（没有办法，只能简化，否则就没法建模了），于是
脂肪对应质量 × 脂肪和能量的换算率 = 摄入食物转化的能量 - （常规每日消耗热量 + 运动消耗的能量）
在运动时，消耗的能量和个人的体重以及运动时间相等。也就是说
运动消耗能量 = 体重×单位体重运动消耗的能量×运动时长 ⋯⋯ ①
在①式中，“单位体重运动消耗的能量”是一个不容易想到的量，但这是一个事实！所以我们要建模，对研究对象本身特点的了解是一个极其重要的过程。建立微分方程，一定要和需要求取的变量建立起关系，因为有体重，因此，需要这样一个变量，同时，研究的是体重在时间上的变化，当然就需要有时间这个变量。当然，首先是这个过程确实是真实存在的，一切都需要符合事实，这是前提。 假设每天运动时间和强度固定，同样强度运动，单位时间内，单位体重消耗能量也是一个固定值。
将上面的能量转换为质量来表示一个体重就是
在 Δt = 1天时间中， ΔW = λ（E -（E0 + W(n)ξ)） ⋯⋯ ②
ΔW：体重增加值； λ：脂肪能量转换率； E：每天摄入能量；
E0：常规每日消耗热量，一个人每天的基础代谢加上合理工作内容消耗能量，约 1500cal左右 ；不包含运动消耗能量。W0
W(n)：第n天初始体重； ξ：运动时单位体重消耗的能量
在②中，我们不要忘了，是在Δt中实现的（这是经常容易忘的一点!），因此方程应该这样表达才是更合适的：
ΔW = λ[E -（E₀ + W(n)ξ)] Δt , 移项， ΔW/Δt = λ(E - E₀ - W(n)ξ）

由于Δt → 0 时，ΔW → 0 ，同时 W(n) 就是那一个时刻的 W，于是得到

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二、 求解方程

③是可分离变量的微分方程，于是有

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左边通过 凑微分 法，d(E -E0 - Wξ) = -ξdW,C1 为任意常数，于是有
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两边积分，有 ln| E - E₀ - Wξ | = -λξ(t +C₁) ，有 E - E₀ – Wξ = ± exp[-λξ(t +C₁)] ,得到通解如下
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因为运动总数消耗能量，是减轻体重的，故④中±取-号。
C = exp(- C1λξ) ，C也是任意常数 。令 t = 0时刻，初始体重 = m, 求特解。
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得到 ：C = E – E0 -ξm 带入④得到特解如下
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m：假设是一个男生要减肥，他的体重m = 75kg ;

E：WHO规定的温饱线为 2400cal/天,这个对于减肥的人来说肯定太高了。要减肥，先降低到 E = 1800cal/天，学者主张每日摄取的食物热量不得低于一千卡，所以大家也不能节食太很哈，会危及生命的。

E₀ ：常规每天消耗基本热量, 简单公式：女子：基本热量（卡）=体重(斤）x9 ； 男子：基本热量（卡）=体重(斤）x10 [1]

在此以男生测算， E₀ = 1500 cal
λ ：人体每减掉一公斤脂肪，需消耗七千七百卡热量(另一种说法是七千二百卡), 取中间值， λ = 1/7450 kg/cal
ξ：游泳消耗能量为5.8 cal/kg·hr ，假设每天游泳一小时，则单位体重运动消耗的能量 ξ = 5.8 cal/kg
将以上数据代入⑤中，得

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对⑥在 Excel 中编辑，得到体重减低趋势图
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体重最后会逼近51.73，回想中学学的幂函数（见下图左），可以知道，t →∞时，exp(-0.00077852t)→0。

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三、进一步分析

可以采用一个比较适合中国人的公式计算，就是毛德倩公式[1]。

公式内容:

基础代谢率＝

男：（48.5W+2954.7）÷4.184
女：（41.9W+2869.1）÷4.184
备注：W是指体重（公斤）
基础代谢率乘上一个“活动因数”，就算出每日热量消耗E0了。活动因数如下图，其实是一个人的活动量大小。

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E₀ = ke₀ ⋯⋯ K活动因数

e₀ = a₁W + b₁. E₀ = k(a₁W + b₁) = aW +b

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利用上式可以求出更精细的，A和C可以自己算算应该是多少。

四、 建立微分方程步骤

1．分析实际问题，将业务问题转换成数学问题

2. 对于需要求的变量，其变化一定要是连续的，或者至少是分段连续的。
3. 寻找一个增量，该增量和之前某一个时刻的对应变量相关，还需要与变动过程中的时间等相乘。这个变化过程一定要是平滑的，如果有跃迁点（第二类断点），就需要分段处理。
4. 得到变换率，对其去极限后得到（偏）微分方程，建立起微分方程。
   其实，过程简单吧。其实，理解一下，中学生都可以完全掌握的。

求解方程。一般来说，建立的微分方程都不复杂，如果是可分离变量的或者是齐次的，就可以求其解析解。如果不是，就直接使用mathematica 微分方程进行数值求解。这个不做更多讨论。

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[1] https://www.zhihu.com/question/394413072

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[1] https://baijiahao.baidu.com/s?id=1559457131168223#:~:text=对大学生而言，一,2100千卡）%E3%80%82