微积分学习笔记-弹簧、泵吸、提升

微积分学习笔记-弹簧、泵吸、提升

作者: LonnieQ | 来源:发表于2019-11-29 22:07 被阅读0次

功的定义

沿x轴方向的变力F(x)从x = a到x = b做的功是
$\int _a^b F(x) dx.$

例1 计算 $F(X) = \frac{1}{x}$ 牛顿沿x = 1米到x = 10米做的功

$W = \int _a^{10} \frac{1}{x^2} dx = -[\frac{1}{x}]_1^{10} = -\frac{1}{10} + 1 = 0.9J$

一个5磅的漏桶常速拉一条20英尺长的绳子从地面升至空中，绳中0.08磅英尺，开始时桶中16磅的水以常速率漏水。桶到顶时水刚好漏完。

(a) 单独提升水消耗的功

由于水是常速漏的，剩余的水和剩余的距离成正比关系, 提升水需要的力
$F_{水}(x) = 16 * (1 - \frac{x}{20})dx$
$W_{水} = \int _0^{20}F_{水}(x) dx = \int _0^{20} 16 (1 - \frac{x}{20})dx$
$= 16\int_0^{20} 1 - \frac{x}{20}dx = 16* [x - \frac{x^2}{40}]_0^{20}$
$= 16 * (20 - 10) = 160磅. 英尺$

(2). 升高水和桶消耗的功

提升桶消耗的力
$F_{桶} = 5$
提升桶消耗的功
$W_桶 = \int_0^{20} 5 dx = [5x]_0^{20} = 100磅.英尺$
则升高水和桶消耗的功
$W_{水+桶} = W_水+W_桶 = 260磅.英尺$

(3). 升高水、桶、绳子消耗的功

由于绳子的长度和剩余的距离成正比
则 $F_{绳} = 20 * 0.08(1 - \frac{x}{20}) = 1.6 * (1 - \frac{x}{20})dx$
$W_{绳} = \int _0^{20}F_{绳}(x) dx = \int _0^{20} 1.6 (1 - \frac{x}{20})dx$
$= 1.6\int_0^{20} 1 - \frac{x}{20}dx = 1.6* [x - \frac{x^2}{40}]_0^{20}$
$= 1.6 * (20 - 10) = 16磅. 英尺$
则升高水、桶、绳子消耗的功
$W = W_{水+桶} + W_{绳} = 276磅.英尺$

例2 弹簧的Hook定理

弹簧的受力公式
$F = kx$
其中
k是改变每单位长度需要的力，成为力常数。
x是伸长或压缩的长度。

例3 求把自然长度为1英尺弹簧压缩至0.75英尺弹簧需要的功，其中力常数k = 16磅/英尺

弹簧的受力公式
$F = 16 x$
则功
$W = \int _0^{0.25} 16 x dx = [8x^2]_0^{0.25} = 0.5 磅.英尺$

例4 一个弹簧自然长度为1米。24N的力可以将弹簧拉长到1.8米。

(a).求力常数k

$k = \frac{24}{1.8 - 1} = 30N/米$

(b).把弹簧拉长到2米需要的功

$W = \int _0^{2} 30x dx = [15x^2]_0^2 = 60N$

(c). 45N的力能拉长的距离

S = 45 / 30 = 1.5米

从容器中抽出液体

例5 将底半径为5米、高为10米的圆柱水槽的水抽到槽顶4米高处，要做多少功。

以槽顶4米处为原点，则水的距离范围x为4-14米。
$\int _4^{14} 9800\pi * 5^2x dx$
$= 24500 \pi \int_4^{14}xdx$
$= 24500 \pi [\frac{1}{2} x^2]_4^{14}$
$= 6927212 N$

相关文章

网友评论

本文标题：微积分学习笔记-弹簧、泵吸、提升

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/crlnwctx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

热点阅读

关于我们|服务条款|联系我们|微积分学习笔记-弹簧、泵吸、提升|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！