1 相关概念

梯度——表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快。对于一元函数
步长——在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度
损失函数——在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差
代价函数——在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均

2 梯度下降法

梯度下降法，也就是使函数按照其梯度方向的反方向（也就是下降最快的方向）改变自变量，从而是函数以最快的方向走向最低点，类似于下山，我们在不知道山的全貌的情况下，沿着坡度最陡的方向往下走比较可能最快的走到山底（但也可能是局部最低处，这跟初始点，每步走的长度等有关）。

这里写图片描述

梯度下降法有批梯度下降，随机梯度下降，以及小批量梯度下降

2.1 批梯度下降BGD

批梯度下降在求梯度时使用了所有的样本，是一种比较常用的梯度下降法。
批梯度下降过程如下

1. 根据数据的特征X和标签Y之间的分布情况，假设一个拟合函数
2. 求得代价函数为若代价函数小到满足精度要求，则结束梯度下降算法，否则继续第3步
3. 求梯度
4. 用梯度来求新的\alpha$为步长，调到第2步

代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np


def d_J(X, Y, theta):
    # X表示样本
    # Y表示样本对应的标签
    # theta表示参数
    return np.matmul(X.T, (np.matmul(X, theta) - Y)) / np.shape(X)[0]


def cost_J(X, Y, theta):
    # X表示样本
    # Y表示样本对应的标签
    # theta表示参数
    X_theta_red_Y = np.matmul(X, theta) - Y
    return np.matmul(X_theta_red_Y.T, X_theta_red_Y) / (2 * np.shape(X)[0])


step_size = 0.001  # 步长
max_iters = 10000  # 最大迭代次数
eps = 0.0001  # 精度


def train_gadient_descent(X, Y, theta):
    cost = 100
    cur_iters = 0
    while cost > eps and cur_iters < max_iters:
        theta = theta - step_size * d_J(X, Y, theta)
        cur_iters += 1
        cost = cost_J(X, Y, theta)
    return theta


if __name__ == '__main__':
    # 输入的特征和标签
    X = np.array([[1 ,1, 4], [1 ,2, 5], [1 ,5, 1], [1 ,4, 2]])  # feature
    Y = np.array([[19], [26], [19], [20]])  # lebal
    # 假设的函数为 y=theta0+theta1*x1+theta2*x2
    theta = np.array([[0.1],[0.1], [0.1]])  # 初始的theta参数
    print(train_gadient_descent(X, Y, theta))

2.2 随机梯度下降法SGD

随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本来求梯度。对应的更新公式是：
批梯度下降法与随机梯度下降法之间的比较如下：

• 训练速度——随机梯度下降法每次迭代仅用一个样本，训练速度快
• 准确度——随机梯度下降法每次迭代仅用一个样本，并没有参考所有的样本，因而准确度较低
• 收敛速度——随机梯度下降法的收敛速度慢
• 全局最优/局部最优——随机梯度下降法由于走的有点随意，比较可能走出局部最优点

2.3 小批量梯度下降法

该方法结合了上面两种的特点，每次采用小批量的样本进行迭代计算，是一种比较中庸的方法。

3 梯度下降法的调优方法

• 步长的选择——步长太长，可能导致Z字形的震荡；太小，可能导致训练速度太慢。
• 初始值的选择——初始值选的不好，可能会导致训练速度慢，走进局部最优。
• 归一化——当样本特征取值范围差别较大时，可能导致训练速度慢。因此，需要进行归一化。如，将期望为$\overline x,标准差\sigma的样本x。对其进行归一化处理$则得到的新的样本均值为0，方差为1。