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交流电机Clark变换中的功率不变约束与幅值不变约束

交流电机Clark变换中的功率不变约束与幅值不变约束

作者: SmartFish | 来源:发表于2020-03-15 16:59 被阅读0次

    交流电机Clark变换中的功率不变约束与幅值不变约束

    对符号进行说明如下:

    • \omega —— 相电流角频率
    • P_1, P_2 —— 变换前后的功率
    • N_2, N_3 —— 分别为两相和三相相绕组等效匝数
    • i_a, i_b, i_c —— 电机三相相电流,设为正弦量,且时间相位上互差120°;
    • u_a, u_b, u_c —— 电机三相相电压
    • u_\alpha, i_\alpha, u_\beta, i_\beta —— 两相静止坐标系下的电压和电流矢量

    明确点

    首先明确无论采用何种变换,必须保证电机气隙内磁动势相同,也即变换前后磁动势必须等效,根据下图可知,利用几何关系有:


    三相坐标系与两相坐标系

    \begin{cases} N_3i_a - \frac{1}{2}N_3i_b - \frac{1}{2}N_3i_c = N_2i_\alpha \\ \frac{\sqrt{3}}{2}N_3i_b - \frac{\sqrt{3}}{2}N_3i_c = N_2i_\beta\\ \end{cases} \tag{1-1}
    \implies \left[ \begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix} \right] = \frac{ N_3 }{ N_2 } \left[\begin{matrix} 1 & -\frac{ 1 }{ 2 } & -\frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & -\frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c\end{matrix} \right] \tag{1-2}
    k=\frac{N_3 }{ N_2 },根据不同的约束可以推导出不同k值。

    恒幅值约束

    恒幅值约束在于变量在变换前后的幅值不变,因为三相电流都为正弦量,且时间相位上互差120°,因此:
    \begin{cases} i_a = I cos( \omega t ) \\ i_b = I cos( \omega t + 120 ) \\ i_c = I cos( \omega t - 120 ) \\ \end{cases} \tag{2-1}
    将式(2-1)带入式(1-2),且i_a + i_b + i_c = 0,可以得到:
    i_\alpha = k(i_a - \frac{1}{2}i_b - \frac{1}{2}i_c) = \frac{3}{2}ki_a = \frac{3}{2}kIcos(\omega t) \\ i_\beta = \frac{ \sqrt{3} }{2}k(i_b-i_c) = \frac{ \sqrt{3} }{2}kI[cos(\omega t + 120) - cos(\omega t - 120)] = -\frac{3}{2}kIsin(\omega t) \tag{2-2}
    由式(2-2)可知,要想保证变换前后幅值不变,则有:
    \begin{cases} | \frac{ 3}{2}kI | = I \\ | -\frac{3}{2}kI | = I \\ \end{cases} \tag{2-3}
    求解式(2-3)即得k = \frac{ 2 }{ 3 }

    恒功率约束

    恒功率约束在于变换前后通入的功率保持不变,即输入三相功率等于变换后的两相功率。变换前的功率比较容易,三相电压电流瞬时值相乘即可:
    P_1 = u_a i_a + u_b i_b + u_c i_c \tag{3-1}
    如果取与电流变换相同的变换阵,则有:
    u_\alpha = k(u_a - \frac{1}{2}u_b - \frac{1}{2}u_c) \\ u_\beta = \frac{3}{2}k(u_b - u_c) \tag{3-2}
    变换后的功率与变换前的功率计算式类似,有:
    P_2 = u_\alpha i_\alpha + u_\beta i_\beta \tag{3-3}
    将式(2-2)与式(3-2)带入式(3-3)可知:
    P_2 = \frac{ 3}{2}k^2(u_a - \frac{1}{2}u_b - \frac{1}{2}u_c)i_a + \frac{3}{4}k^2(u_b - u_c)(i_b - i_c) \\ = \frac{3}{4}k^2u_ai_a + \frac{3}{4}k^2u_bi_b + \frac{3}{4}k^2u_ci_c + \\ \frac{3}{4}k^2u_ai_a - \frac{3}{4}k^2u_bi_a - \frac{3}{4}k^2u_ci_a - \frac{3}{4}k^2u_ci_b - \frac{3}{4}k^2u_bi_c \\ = \frac{3}{4}k^2P_1 + \frac{3}{4}k^2(u_ai_a - u_bi_a - u_ci_a - u_ci_b - u_bi_c) \tag{3-4}
    利用-i_a = i_b + i_c带入式(3-4)中的- u_bi_a - u_ci_a部分,则可继续展开得到:
    P_2 = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2(u_ai_a + u_bi_b + u_bi_c + u_ci_b + u_ci_c - u_ci_b - u_bi_c) \\ = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2(u_ai_a + u_bi_b + u_ci_c) \\ = \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 + \frac{ 3 }{ 4 }k^2P_1 \\ = \frac{ 3 }{ 2 }k^2P_1 \tag{3-5}
    为了保证功率不变,则需要P_2 = P_1,有:
    P_2 = \frac{ 3 }{ 2 }k^2P_1 = P_1 \tag{3-6}
    显然,此使k = \sqrt{\frac{ 2 }{ 3 } }

    Note

    注意到,采用恒幅值变化后,功率发生了变化:
    P_2 = \frac{3}{2}k^2P_1 = \frac{2}{3}P_1
    因此导致最终推导电机转矩计算式时会产生差异。

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