人工智能数学基础-线性变换

线性变换是数学中的一个基本概念，尤其在矩阵理论、线性代数和函数分析等领域中占有核心地位。下面将详细讲解线性变换的相关内容。

线性变换的概念及其性质

概念

线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。具体来说，如果有向量空间V和W，T是从V到W的线性变换，那么对于所有在V中的向量u和v，以及所有标量c，以下性质必须成立：

• T(u + v) = T(u) + T(v)
• T(cu) = cT(u)

性质

1. 保持加法：T(u + v) = T(u) + T(v)
2. 保持标量乘法：T(cu) = cT(u)
3. 零向量映射到零向量：T(0) = 0
4. 线性组合的线性性：T(c1u1 + c2u2 + ... + cnun) = c1T(u1) + c2T(u2) + ... + cnT(un)

线性变换的运算

线性变换的运算包括变换的加法、数乘以及变换的复合。

• 加法：如果有两个线性变换T和S，它们的和T+S定义为(T+S)(v) = T(v) + S(v)。
• 数乘：线性变换T与标量c的乘积ct定义为(ct)(v) = cT(v)。
• 复合：如果有两个线性变换T:V→W和S:U→V，它们的复合ST定义为ST:U→W，其中(ST)(u) = T(S(u))。

线性变换的矩阵

给定一个线性变换T:R^n→Rm，我们可以通过选择基来表示T为一个矩阵。如果选择了R^n和Rm的基，那么线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，使得对于任何向量v，其像T(v)可以通过矩阵乘法Av来计算。

例子

假设有线性变换T:R^2→R2，定义为T(x, y) = (2x - y, x + 3y)。如果选择标准基{(1, 0), (0, 1)}，则矩阵A为：

A = | 2 -1 |
    | 1  3 |

所以，对于向量v = (x, y)，有T(v) = Av。

线性变换的对角化

线性变换的对角化是指找到一个基，使得线性变换在这个基下的表示是对角矩阵。也就是说，如果T可以表示为对角矩阵Λ，则存在一个可逆矩阵P，使得T = PΛP^(-1)。

例子

考虑上面例子中的矩阵A，它的特征值是λ1 = 2和λ2 = 3，对应的特征向量分别是v1 = (1, 1)和v2 = (1, -1)。因此，我们可以找到P和Λ使得A = PΛP^(-1)：

P = | 1  1 |
    | 1 -1 |
Λ = | 2  0 |
    | 0  3 |

线性变换的不变子空间

不变子空间是指在线性变换下保持不变的子空间。也就是说，如果W是V的子空间，且对于所有w∈W，都有T(w)∈W，那么W是T的不变子空间。

例子

在上述例子中，特征向量v1和v2张成的空间是A的不变子空间，因为对于任何标量c1和c2，A(c1v1 + c2v2)都会在这个空间内。

线性变换的若当标准型

若当标准型是矩阵的一种形式，它类似于对角矩阵，但允许对角线上的块为若当块（即对角线元素相同的矩阵块）。任何矩阵都可以相似变换为若当标准型。

例子

假设有矩阵A，它的若当标准型为：

J = | λ  1  0  0 |
    | 0 λ  1  0 |
    | 0 0 λ  1 |
    | 0 0 0 λ  |

这里的λ是特征值，每个若当块对应于该特征值的代数重数和几何重数之差。