“纠正我们推理的唯一方法，是使它们像数学家的推算一样实在可靠，这样我们就能一目了然地发现错误。当人与人之间争论不休时，我们只要说：别再吵了，让我们算算看谁才是对的。”
亚里斯多德开创逻辑系统很棒，但是……
莱布尼兹提出只用 0 与 1 的二进位算术，成为现代电脑的运算方式。不过，现代电脑可不是之前的计算器，即由齿轮转动的圈数来做加减乘除，而是利用电子零件的开关状态。开关状态如何做二进位算术？这就需要借助“逻辑运算”。
逻辑运算这个词在现代听起来理所当然，但你若拿去问十八世纪以前的人，他一定觉得莫名其妙，逻辑用的都是文字语句，又不是数学，怎么运算呢？
是的，打从亚里斯多德开创有规则可循的逻辑系统，两千年来表达逻辑的方式都是用自然语言做为陈述句，例如下面这个最具代表性的三段论。
大前提：所有人都会死。
小前提：苏格拉底是人。
结论：苏格拉底会死。
亚里斯多德雕像
然而自然语言不免会有多重涵义，或是容易有歧义的问题，不仅翻译成不同语言可能造成误解，就算是使用同一种语言的人，也可能会对其中的逻辑关系有不同认知。例如“有关系就没关系，没关系就有关系”这句俗谚裡面，“关系”这个词项显然有不同涵义，而“有”与“没”的用法也前后不一。
况且除了简单的三段论，还有其它形式更複杂的逻辑陈述，用自然语言确实无法精确地表示各种逻辑形式和规律。
你以为数学式本来就长这样？
其实数学早期也都是用自然语言，如果翻开当时的数学书籍，只见尽是长长的文字叙述，即使看得懂，恐怕也难以联想到它就是代表一个简单的公式而已。这是因为直到十六世纪，数学才开始用符号来表达，像加、减、乘、除、等于都是约莫那个时候才改用 ＋、－、×、÷、= 代表。而我们现在熟悉的数学式记法，包括用字母代表未知数，更是十七世纪才盛行。
加、减、乘、除、等于，约莫到 16 世纪才改用 ＋、－、×、÷、= 代表
数学符号化之后，表述方式更加简短精确，计算也变得方便许多。而且由于符号不受语文隔阂，不同国家的数学家都能一目了然，因此得以加速数学与科学的传播与交流，是促成科学革命的重要基石。
莱布尼兹本身游历德国、法国、英国三地，又曾为微积分创造新的符号，更能感受符号化的重要性，因此在他梦想有数学般的通用文字之前，就已经试图把逻辑转换为数学那样的表示方式，也就是现代所称的“数理逻辑”。
莱布尼兹致力于逻辑数学化，可惜无人知
莱布尼兹先于 1679 年设想各种基本概念都用某个质数代表，例如“动物”用 “2” 代表，“理性”是 “3”，那么“人是理性的动物”这个句子就相当于 “6=2×3”，也就是说代表“人”的数字是 “6”。从 6=2×3 可以推导出 6÷3=2，代表“人失去理性等于动物”，这样便能透过计算完成逻辑推论。
1686 年，莱布尼兹改用 A、B、C……等字母符号代表普通命题，并引入“非”、“等于”、“不等于”、“属于”、“不属于”等符号，然后用这些符号列出交换律、传递关系……等处理集合关系的运算规则。
到了 1690 年，他又将加法与减法纳入逻辑演算之中，让逻辑的符号化与数学化更加完整，可以说已经为数理逻辑打下坚固的地基。无奈这些手稿在莱布尼兹生前从未公开，直到二十世纪初世人才知道他这方面的研究，数理逻辑的发展因此延迟了一个半世纪，才由英国数学家布尔 (George Boole) 重新开创。
布尔绘于 1860 年的肖像
布尔公亲变事主，重新开创数学逻辑
布尔于 1815 年出生在一个乡下小镇，父亲是个鞋匠。因为家境清寒，他自小学毕业后就没再受正式教育，而是靠自学习得语文与数学知识。
布尔十六岁时被当地一所学校聘为教师，成为家中经济支柱；到了十九岁干脆自己开办学校，同时更投入数学的研究。布尔二十三岁开始发表数学论文，逐渐获得伦敦学术圈的注意，其中一位数学家德摩根 (Augustus De Morgan) 与他结为好友，后来竟为他带来开创逻辑新局的契机。
话说十九世纪的哲学家已经注意到亚里斯多德的三段论有许多问题，因此包括德摩根在内的一些学者开始思考如何将逻辑数学化（如之前所说，他们浑然不知莱布尼兹早已做了研究）。1846 年，德摩根发表了一篇关于三段论的论文，主要是针对命题中的“所有”、“有些”，或“大部分”提出量化的讨论。
没想到论文发表后，另一位英国哲学家汉弥尔顿 (Sir William Hamilton) 立即跳出来指控德摩根剽窃自己的想法。布尔身为德摩根好友，自然要关切两人争执的内容，没想到他深入研究后，竟从原本的旁观者摇身一变为一代宗师。
1847 年，布尔出版了《逻辑的数学分析》(The Mathematical Analysis of Logic)，这本仅仅 82页的小册子立即撼动了哲学界与数学界。这裡面完全用代数的形式来表达传统逻辑，像“且”、“或”、“非”、“若……则……”等逻辑关系都化为乘法与加、减法；命题的真伪就用 1 与 0 两种数值代表；另外布尔再订出结合律、分配律、……等基本公理，成功地将逻辑数学化。
从此逻辑推论可以改用简洁精确的数学式计算，不但避免语意模稜两可造成的谬误，也大幅增加处理命题的效能。在许多学者投入之下，数理逻辑这门全新的路线迅速发展，布尔自己也在 1854 年出版的《思维法则》(The Laws of Thought) 中，把整个系统补强得更完整。
其实布尔的研究成果有许多都是莱布尼兹已经做过的，但历史就是这么奇妙，莱布尼兹被视为二进位制的创立者，是因为一个世纪前的哈里奥特没有公开发表论文。如今换成莱布尼兹自己没有将逻辑代数的研究整理发表，而让逻辑代数在一个半世纪后冠上布尔之名（称为“布尔代数”(Boolean algebra)，”Boolean”意指“布尔的”）。
用布林代数表示逻辑命题
还有一点令人惋惜的是，莱布尼兹如此看重二进位制，却没有像布尔那样，用 1 与 0 代表命题运算后的真伪。对于电脑运算而言，这是绝对必要的，因此从电脑发展的角度而言，即使莱布尼兹的文稿更早公开，布尔一定还是会在发明电脑的功劳簿上记上一笔。
二进位制与布尔代数就绪，现代电脑只欠东风
事实上，布尔对计算机也不陌生。由于好友德摩根是爱达·勒芙蕾丝的数学家教，透过这层关系，布尔曾经跟巴贝奇书信往来。他在 1862 年写给巴贝奇的一封信中，还特地感谢他为自己解释差分机的细节。就像当年莱布尼兹曾设想过二进位的计算机，我们不禁要想像若是结合布尔的全新观点与巴贝奇的设计天分，是否会改变计算机的历史？
但这已无从得知了，因为布尔在两年之后就死于非命。原来布尔冒著大雨到学校教课，因此感冒发烧，不料他那迷信顺势疗法的老婆，竟继续往布尔身上浇了好几桶水，反而导致他严重肺炎，才四十九岁就因病过世。
无论如何，没有电还是不会有现代电脑，因此尽管二进位制与布尔代数早已就绪，仍需等待东风——也就是电力与硬件，计算机才能航向全新的世代。当然，东风起了，还得有个诸葛孔明运筹帷幄呢……。“纠正我们推理的唯一方法，是使它们像数学家的推算一样实在可靠，这样我们就能一目了然地发现错误。当人与人之间争论不休时，我们只要说：别再吵了，让我们算算看谁才是对的。”
亚里斯多德开创逻辑系统很棒，但是……
莱布尼兹提出只用 0 与 1 的二进位算术，成为现代电脑的运算方式。不过，现代电脑可不是之前的计算器，即由齿轮转动的圈数来做加减乘除，而是利用电子零件的开关状态。开关状态如何做二进位算术？这就需要借助“逻辑运算”。
逻辑运算这个词在现代听起来理所当然，但你若拿去问十八世纪以前的人，他一定觉得莫名其妙，逻辑用的都是文字语句，又不是数学，怎么运算呢？
是的，打从亚里斯多德开创有规则可循的逻辑系统，两千年来表达逻辑的方式都是用自然语言做为陈述句，例如下面这个最具代表性的三段论。
大前提：所有人都会死。
小前提：苏格拉底是人。
结论：苏格拉底会死。
亚里斯多德雕像
然而自然语言不免会有多重涵义，或是容易有歧义的问题，不仅翻译成不同语言可能造成误解，就算是使用同一种语言的人，也可能会对其中的逻辑关系有不同认知。例如“有关系就没关系，没关系就有关系”这句俗谚裡面，“关系”这个词项显然有不同涵义，而“有”与“没”的用法也前后不一。
况且除了简单的三段论，还有其它形式更複杂的逻辑陈述，用自然语言确实无法精确地表示各种逻辑形式和规律。
你以为数学式本来就长这样？
其实数学早期也都是用自然语言，如果翻开当时的数学书籍，只见尽是长长的文字叙述，即使看得懂，恐怕也难以联想到它就是代表一个简单的公式而已。这是因为直到十六世纪，数学才开始用符号来表达，像加、减、乘、除、等于都是约莫那个时候才改用 ＋、－、×、÷、= 代表。而我们现在熟悉的数学式记法，包括用字母代表未知数，更是十七世纪才盛行。
加、减、乘、除、等于，约莫到 16 世纪才改用 ＋、－、×、÷、= 代表
数学符号化之后，表述方式更加简短精确，计算也变得方便许多。而且由于符号不受语文隔阂，不同国家的数学家都能一目了然，因此得以加速数学与科学的传播与交流，是促成科学革命的重要基石。
莱布尼兹本身游历德国、法国、英国三地，又曾为微积分创造新的符号，更能感受符号化的重要性，因此在他梦想有数学般的通用文字之前，就已经试图把逻辑转换为数学那样的表示方式，也就是现代所称的“数理逻辑”。
莱布尼兹致力于逻辑数学化，可惜无人知
莱布尼兹先于 1679 年设想各种基本概念都用某个质数代表，例如“动物”用 “2” 代表，“理性”是 “3”，那么“人是理性的动物”这个句子就相当于 “6=2×3”，也就是说代表“人”的数字是 “6”。从 6=2×3 可以推导出 6÷3=2，代表“人失去理性等于动物”，这样便能透过计算完成逻辑推论。
1686 年，莱布尼兹改用 A、B、C……等字母符号代表普通命题，并引入“非”、“等于”、“不等于”、“属于”、“不属于”等符号，然后用这些符号列出交换律、传递关系……等处理集合关系的运算规则。
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到了 1690 年，他又将加法与减法纳入逻辑演算之中，让逻辑的符号化与数学化更加完整，可以说已经为数理逻辑打下坚固的地基。无奈这些手稿在莱布尼兹生前从未公开，直到二十世纪初世人才知道他这方面的研究，数理逻辑的发展因此延迟了一个半世纪，才由英国数学家布尔 (George Boole) 重新开创。
布尔绘于 1860 年的肖像
布尔公亲变事主，重新开创数学逻辑
布尔于 1815 年出生在一个乡下小镇，父亲是个鞋匠。因为家境清寒，他自小学毕业后就没再受正式教育，而是靠自学习得语文与数学知识。
布尔十六岁时被当地一所学校聘为教师，成为家中经济支柱；到了十九岁干脆自己开办学校，同时更投入数学的研究。布尔二十三岁开始发表数学论文，逐渐获得伦敦学术圈的注意，其中一位数学家德摩根 (Augustus De Morgan) 与他结为好友，后来竟为他带来开创逻辑新局的契机。
话说十九世纪的哲学家已经注意到亚里斯多德的三段论有许多问题，因此包括德摩根在内的一些学者开始思考如何将逻辑数学化（如之前所说，他们浑然不知莱布尼兹早已做了研究）。1846 年，德摩根发表了一篇关于三段论的论文，主要是针对命题中的“所有”、“有些”，或“大部分”提出量化的讨论。
没想到论文发表后，另一位英国哲学家汉弥尔顿 (Sir William Hamilton) 立即跳出来指控德摩根剽窃自己的想法。布尔身为德摩根好友，自然要关切两人争执的内容，没想到他深入研究后，竟从原本的旁观者摇身一变为一代宗师。
布尔为了朋友踏入逻辑数学化领域
命题真伪改用 1与 0代表，逻辑关系化为数学运算
1847 年，布尔出版了《逻辑的数学分析》(The Mathematical Analysis of Logic)，这本仅仅 82页的小册子立即撼动了哲学界与数学界。这裡面完全用代数的形式来表达传统逻辑，像“且”、“或”、“非”、“若……则……”等逻辑关系都化为乘法与加、减法；命题的真伪就用 1 与 0 两种数值代表；另外布尔再订出结合律、分配律、……等基本公理，成功地将逻辑数学化。
从此逻辑推论可以改用简洁精确的数学式计算，不但避免语意模稜两可造成的谬误，也大幅增加处理命题的效能。在许多学者投入之下，数理逻辑这门全新的路线迅速发展，布尔自己也在 1854 年出版的《思维法则》(The Laws of Thought) 中，把整个系统补强得更完整。
其实布尔的研究成果有许多都是莱布尼兹已经做过的，但历史就是这么奇妙，莱布尼兹被视为二进位制的创立者，是因为一个世纪前的哈里奥特没有公开发表论文。如今换成莱布尼兹自己没有将逻辑代数的研究整理发表，而让逻辑代数在一个半世纪后冠上布尔之名（称为“布尔代数”(Boolean algebra)，”Boolean”意指“布尔的”）。
用布林代数表示逻辑命题
还有一点令人惋惜的是，莱布尼兹如此看重二进位制，却没有像布尔那样，用 1 与 0 代表命题运算后的真伪。对于电脑运算而言，这是绝对必要的，因此从电脑发展的角度而言，即使莱布尼兹的文稿更早公开，布尔一定还是会在发明电脑的功劳簿上记上一笔。
二进位制与布尔代数就绪，现代电脑只欠东风
事实上，布尔对计算机也不陌生。由于好友德摩根是爱达·勒芙蕾丝的数学家教，透过这层关系，布尔曾经跟巴贝奇书信往来。他在 1862 年写给巴贝奇的一封信中，还特地感谢他为自己解释差分机的细节。就像当年莱布尼兹曾设想过二进位的计算机，我们不禁要想像若是结合布尔的全新观点与巴贝奇的设计天分，是否会改变计算机的历史？
但这已无从得知了，因为布尔在两年之后就死于非命。原来布尔冒著大雨到学校教课，因此感冒发烧，不料他那迷信顺势疗法的老婆，竟继续往布尔身上浇了好几桶水，反而导致他严重肺炎，才四十九岁就因病过世。
无论如何，没有电还是不会有现代电脑，因此尽管二进位制与布尔代数早已就绪，仍需等待东风——也就是电力与硬件，计算机才能航向全新的世代。当然，东风起了，还得有个诸葛孔明运筹帷幄呢……。
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