七.一元微分学的几何应用

1.极值与最值的概念

点在某个邻域内函数是最大值值或最小值就是极值

点在定义域内函数是最大值值或最小值就是最值

需要记忆如果最值点不是端点那么必是极值点

2.单调性与极值的判别

单调性用导数进行判别

一阶可导点是极值的必要条件

判别极值的三个充分条件
（1）函数连续且在去心邻域内可导，左右导数符号相反

（2）在点处二阶可导且不等于0，一阶导数等于0。

（3）在点处n阶可导，1到n-1阶导数为0，n阶导数不等于0且n为偶数。

3.凹凸性与拐点

凹的

凸的

拐点是凹弧与凸弧的分界点，凹凸不分先后，拐点在曲线上。

4.凹凸性与拐点的判别

判断凹凸形，若二阶导数大于0，则为凹，小于0则为凸。

二阶可导点是拐点的必要条件

判别拐点的3个充分条件
（1）函数在点处连续，且点的去心邻域内二阶导数存在，左右邻域二阶导数变号。

（2）函数在点的邻域内三阶可导，而点的二阶导数为0，三阶导数不等于0。

（3）函数在点处n阶可导，2到n-1阶导数为0，n阶导数不等于0，且n为奇数。

5.渐近线
（1）铅锤渐近线
趋于某一点是否无穷

（2）水平渐近线
趋于正负无穷是否为常数

（3）斜渐近线
是否存在a，再求b

6.最值或取值范围
（1）求闭区间上连续函数最大最小值
求出定义域开区间内可疑点，包括驻点和不可导点及其函数值
求出端点函数值
比较以上值

（2）求开区间内连续函数的最值或取值范围
求出可疑点及其函数值
求两端单侧极限，若端点为无穷则求极限
比较以上值

7作函数图形
确定函数定义域，是否有奇偶性
求出一阶和二阶导数，用无定义点、一阶二阶导数为0的点，一阶导数不存在的点，划分为若干子区间，确定各区间单调性与凹凸性，进而确定极值点和拐点
确定渐近线
作出函数图形