在前面的用户增长的文章中，我们介绍了LTV和CAC对于用户增长的约束作用。很多人看完后，反馈对于LTV的计算不是很明白，在网上也找不到特别靠谱的办法，要么是经验公式，适用范围较小，要么太复杂，很难上手。这里跟大家分享一种比较有效计算LTV和CAC的方法。
回顾LTV和CAC的定义和应用
大家都知道，我们在做产品的新用户获取时，一定要遵循的原则是，获取用户的成本小于用户给我们带来的价值。一般我们用LTV表示用户带来的价值，获取用户的成本用CAC表示，具体的定义和解释如下：
LTV, Life Time Value的缩写，用户的终身价值，即用户在产品内贡献的总的价值，一般用人均值
CAC, Customer Acquisition Cost的缩写，即单个用户的获取成本
简单来说，在新用户的获取上，要保证一个用户在整个生命周期中给产品带来的价值（LTV）大于获取这个新用户所耗费的成本（CAC），否则获取的用户越多，亏损越严重。即 LTV>CAC ，公式看似简单，却是用户获取的本质约束。
很多风险投资机构普遍认为 LTV>CAC的时候产品或者公司是有可能性的，LTV<CAC的时候模式是无意义的，除了LTV需要大于CAC之外，两者比值也是体现产品商业价值的指标。在有竞争的环境下，即使LTV>CAC，但是如果LTV/CAC的比值小于其它竞品公司，同样会在竞争中很多被抬高的CAC压垮。因此投资机构在投资时，还会关注LTV/CAC的比例，一般认为LTV/CAC>3是有较大概率占据行业领先地位的。具体如下图所示：
LTV和CAC的关系（来源：pritzker venture capital）
那么是不是LTV/CAC越大越好呢？其实也不一定，如果过大，很有可能说明在市场拓展中还太保守，没有尽快的的占领市场。因此，需要保持在大幅推广的情况下，LTV/CAC在3左右，是一个比较好的状态。
如何计算CAC和LTV？
计算CAC的方法比较简单如下：
CAC=市场总花费/同时期新增用户数
市场总花费一般包括推广渠道花费，营销和销售的总费用，甚至包括所有市场，运营人员的人力成本，这里只要把我们付出的成本都算进去就好。
LTV的计算方法为：
其中LT为用户的平均生命周期，ARPU(Average Revenue Per User) 为用户在平均生命周期中的平均收入。计算LT是比较复杂的，特别是短期的一些情况，只能完全靠预估，没法准确计算。我们按照定义，用户的平均生命周期，推出LT的表达式，假设新增一批用户A，用户在后面第n天的留存用户数为A(n)，则这批用户总的生命周期为：
那么这批用户的平均生命周期为：
我们可以知道留存用户数除新增用户数，即是留存，也即
R(n)表示第n天的留存率。
因此我们知道用户平均生命周期为：
由上式可知，用户的平均生命周期等于留存之和。但是很多时候，我们可能刚上线很短的时间，比如一些游戏，刚上线一个月，老板就要看LTV，这个时候的留存可能只出来了很短一段时间。这里就涉及到留存的预估问题了。
假设，我们已经知道部分留存数据，比如，次留50%，7日留存30%，30日留存15%，我们可以利用强大的Excel来预估长期的留存。
我们将以上假设的点，在Excel中画出来，如下图所示
实际留存
我们都知道，留存的衰减曲线，实际上与幂函数类似，因此，我们选择添加趋势线，
添加趋势线
并用对数函数拟合，然后显示公式和R^2。
得到如下图：
image.png
其中公式
是留存的拟合函数，x代表天，y代表留存数值，R^2代表拟合的精度，越接近1代表越准确。
有了这个留存公式后我们就可以预测出长期之后的留存数值。如下图绘制出一直到120天的留存。
留存预测
因为，留存的数不可能小于0，因此留存的函数应该如下：
利用此公式，带入到LT的计算公式，求出LT
这里的求和计算，本质上是对于留存函数的定积分计算，也就是留存函数下方的面积。我们也可以直接通过Excel进行简单的求和。可得到例子中的数值为：
因此人均的生命周期约为13.8天，根据 LTV=LT*ARPU再乘以日均的arpu值，便知道了LTV。
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