​本文的题目来自于我在幼儿园家长日上的一次分享。

首先要说明的是，我学的专业和做的工作与数学研究并没有直接关系，我本人在数学教育方面也没有什么成功案例。本文的内容主要源于个人经验以及阅读心得。

本文将从以下四方面来讨论“幼小阶段数学教育”这个主题：

    1、“理想化”的数学教育

    2、“功利化”的数学教育

    3、“普通人”的数学教育

    4、“数学家”的数学教育

一、“理想化”的数学教育

探讨数学教育之前，我们先来看看人类普遍的学习模式是怎样的？在《认知天性》这本书里写到：

这里面有两个关键词，一个是概念，一个是关联。概念就是我们所说的知识点，而有效的学习需要“布点成网”。知识点不能只是一个个孤岛，我们需要着重向孩子展示知识点之间的关系。学到的概念越多，彼此之间的关联就越多，逐渐编织起一张知识网络。

比如，学习“加法”时2+2=4，学习“乘法”时2×2也等于4。加法和乘法是两个知识点，而需要重点强调的是它们之间的联系：乘法表示相同数量的连续相加。2×2表示两个2相加，也就是2+2，这就是它们都等于4的原因。

具体到本文的主题“数学学习”，我们需要区分清楚三个层次：思维、技巧和熟练。用一颗树来比喻，思维是树干，技巧是树枝，而熟练是树叶。在幼小阶段，思维训练的重要性大于技巧训练，而这两者又远远比追求“熟练”要重要太多。树叶青葱是枝干强壮的结果，决不能本末倒置。

比如，熟练背诵乘法口诀表只是一片树叶。任何人迟早都会，你比别人早背两年没有任何意义。但是要搞懂乘法口诀表是怎么“制定”出来的，就需要明白加法和乘法之间的关系。而“数轴”的技巧是算术中最重要的一根“树枝”。再往“树干”上走，就涉及到“基本运算定律”、“位权制记数法”等更基础的数学知识。

我们应该把全部精力都投入到思维和技巧的训练上，“熟练背诵乘法口诀表”之类的抢跑行为得不偿失。

还需要多说一句的是，正确的方法有可能在前期反而表现为落后。人家的小孩能够一口报出答案，而自己的崽儿还在掰着指头慢慢数。这个时候家长朋友们要能沉得住气，心中默念：来日方长，厚积薄发，谁笑到最后…

对于比较小的孩子（六岁以下），我们进行幼儿数学启蒙的目的，应该是让他们体会数学，而不是学会数学。因为这个年龄段的孩子是很难真正一板一眼地坐下来学习的。我们可以利用一些生活中的场景，引导他们逐渐去接触数学概念。

可以和他们比赛举重，搬的东西最多的就是第一名，也可以跟他们比赛跑步，用的时间最少的就是第一名。在玩耍的过程中，家长在一旁“刻意”引导，孩子“自然”就能体会到数字既可以用来表示数量的多少，也可以用来表示顺序的先后，既可以由小到大的排序，也可以由大到小的排序。

有的家长会说，我自己都有数学恐惧症，哪来的意识去引导孩子呢？对此，我最直白的安慰是：其实我上面说的这些技巧都只能算是“边角余料”，系统的数学学习只能依靠正规的学校教育。家长的“暗中助力”也许能发挥一成的功力，但是无关大局，剩下的九成你交给学校就行了。家长朋友们不需要给自己太大的压力。

这又从另一个角度说明了，“一年级学会二年级的东西，二年级学会三年级的东西”这种抢跑的层次太低。在别人迟早会赶上来的赛道上早跑几步有什么意义呢？真正有效的“抢跑”不该沿着教学大纲的方向，而是要越跑越宽，不经意间就把整个大纲包裹进了自己的跑道。

所以说，如果你属于不会辅导数学的家长，你也用不着因为自己无力帮助孩子抢跑而悔恨交加，寝食难安，至少现在还不需要。“功夫在诗外”这句话，在六岁左右这个年龄段还是成交的。

《如何唤醒数学脑》里作者写到：“在我的补习班中，能在短期内提高成绩的学生，都有一个共同的特点，就是具备优异的语文能力…尤其是有逻辑条理性，能够把别人的意思用自己的话表达出来。”你多和孩子说说话，也算是在辅导数学了。

二、“功利化”的数学教育

上一部分我们讨论了“理想化”的数学教育应该是什么样的。但是，孩子在江湖飘，哪能不…拼升学、不要考试、不看成绩…这一部分我们就来讨论一下这个话题：以升学为目的的“功利化”的数学教育。

简单来说，在升学之路上，家长扮演的角色应该是孩子的脚手架。著名教育心理学家高普尼克在《宝宝也是哲学家》一书中写到：

也就是说从6岁开始，孩子们逐渐会从玩耍模式进入到课堂模式，我想这也是“幼小衔接”的理论基础。

因此6岁是孩子升学之路上的第一个关键节点。《魔鬼数学》里写到：“ 很多孩子会在两个时间点放弃数学：一是学习分数时，二是学习代数时。”分别对应到小学三年级和五年级。再往上的关键节点当然就是小升初考试。

我估计以大部分家长的辅导能力，我们这个脚手架大概只能搭到小学三年级左右的高度。那更上面的那些坎又怎么办呢？

一个自然而然的想法就是：能不能把脚手架的工作外包出去？——花钱报辅导班。

数学辅导班这项业务我还没有亲身体验过，但我还是简单地做了一些调研。辅导班大概分成两类，一种是以“学而思”为代表的“商业”辅导班，另一种是以小升初为目的的“官办”辅导班。学而思的辅导班又分成了：学科数学和小学奥数，而小升初的辅导班也分成了：培训班和针对班。

我理解学科数学班和培训班就相当于补课，需不需要补课因人而异。而如果到了小学高年级，你已经确定了小升初的目标学校，那对口的针对班我觉得是必须要上的，正所谓有的放矢。至于奥数班，则没有讨论的必要，正经的奥数竞赛绝对是要靠天赋的。孩子不是那块料，报了也没用。如果真的是金子，肯定会被学校老师一锄头刨出来。

其实我想说的重点还不是上面的这些辅导班，而是市面上的另一种培训机构，包括但不限于什么珠心算、速算法、左右脑开发、专注力训练…我倒不是说这些班完全没用，我的意思是如果你给孩子报这些班的话，你必须要清楚，你报的不是数学班而是杂技班，“最强大脑”并不适合搞数学。

三、“普通人”的数学教育

前面我们说了，奥数竞赛班不是你想报就能报，不想报就可以不报的。数学能力在人群中的分布是一个橄榄形。顶尖的一小撮，靠的是天赋。末尾的一小撮，实在开不了窍，也没办法强求。但是我相信：对于绝大部分处在中间的普通人，只要方法得当，在学校里取得中等偏上的数学成绩是可以预期的。

下面我通过两道例题来解释一下，什么是我认为的得当的“普通人”的数学教育方法。

这道题来自我女儿的幼小衔接作业。

有的家长可能会这样辅导：贝壳有5个，花有3朵，因为5>3，所以贝壳比花朵多——这种解释是错误的。

5和3只是两个符号，也可以写成五和三，或者five和three…这样的解释并没有给孩子讲明白：为什么这个符号就大于那个符号呢？

比较数量的本质应该是一一对应，谁剩下谁就多，剩多少就多多少。贝壳和花朵一一对应后，贝壳还剩下两个，所以贝壳比花多。又因为我们把贝壳的数量用5这个符号表示，把花的数量用3这个符号表示，所以5>3。也就是说，是因为贝壳多于花朵，所以5>3。而不是因为5>3，所以贝壳多于花朵。

实际上，一一对应是数量比较的唯一方法。等他们在十几年之后面对无穷大数量的比较时（比如全体奇数和全体整数哪个更多），用到的也是这个思想。

接下来，我们可以“趁机”引入数轴的概念。把数量按照从小到大，从左到右的顺序排列在一条直线上就形成了数轴。数轴上右边的数比左边的数大，5在3的右边，所以5>3。

我们再来看一道“难题”：

这道题对大人来说是列一个方程组，但是该如何给比较小的孩子讲解呢？我们还是可以用到数轴的思维模型，通过数轴我们可以向孩子展示加法交换律。接着我们再次运用一一对应做比较的原理引导他们找到答案。

我用上面这一易一难两道题，想说明的还是之前的观点：幼儿数学教育，思维>技巧>熟练。比较的本质是一一对应，这是思维层面；数轴的运用是技巧层面；最后的答案，只是附带的结论。

在这个部分的最后，我再介绍一个数学小游戏。这个游戏改编自《这才是数学（教师版）》。有一天，女儿说她搞不懂什么是乘法。于是我打了一张格子纸，再拿了两个骰子。游戏的规则是这样的：两个人轮流掷骰子，比如掷出了2点和5点，就用水彩笔涂出2排每排5个格子。然后数一数一共涂了10个格子，于是在纸上计分“2×5=10”。当格子不够时游戏结束，比如下图中如果掷出了两个6。最后加总各自的得分。

我们来看看在这个游戏里面包含了哪些知识点。首先是理解乘法的含义，还可以“趁机”体会乘法的交换律，顺带也“训练”了面积的概念。计分的部分则练习了连加法的表达。最后判断输赢时，再次运用一一对应的思维，消去两个式子中相同的项…

总之，这是一个让我颇为自得的教学创新。然而……

四、“数学家”的数学教育

在上一部分中，我用几个例子展示了我所认为的“得当”的数学教育方法。但是我并没能得意多久，因为我发现在真正的数学家眼里，我这种“普通人”的数学教育方法其实并不合格。那么正宗“数学家”的数学教育应该是怎么样的呢？

我们首先思考一下这个问题：人能自己学会说话，人能不能自己学会数学？也就是说小孩子不用刻意学习，就能够掌握语言。那如果不专门教授他们理论知识，小孩子能够自己学会数学吗？

答案是否定的。伍鸿熙教授在《数学家讲解小学数学》里曾经批评到：“普通教科书不重视定义，而是通过各种例子来做示范，以为数学也像小孩学说话，不理解每个单词也能学会句子……这种教法是无效的。”

可以看到，原汁原味的数学教育强调的是理论定义，而不是具体的应用场景。在《一个数学家的叹息》里也批评到：“数学教学最悲哀的地方，是企图‘让数学变有趣，与生活产生关联’——它本来就远超过你了解的有趣！数学的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣！”

这些批评让我目瞪口呆，深深感受到了专业选手和业余爱好者之间的鸿沟。不过下面这则批评倒颇有些醍醐灌顶的效果：“学生产生数学恐惧症的原因，是在你没有充分理解好数学的情况下，老师就要求你按照规定的步骤做数学题，之后就任由你自生自灭。”

那什么才是被数学家认可的数学教育方式呢？——“连贯性是构成数学的一种品质，要想呈现一门连贯的课程，就必须用一种不违背学生学习规律的，符合逻辑的方法来展现中小学数学。”

对我这样的普通家长而言，一个自然而然的问题就是：孩子还这么小，能接受得了这种“正经八百”的科班教学吗？——数学家的回答是：“人们常常出于发展适应性的考虑，不给孩子讲解认知上太复杂的知识，但近来认知心理学研究发现：孩子的抽象能力超越了大多数人的想象…这个结论已经在一些发达国家的课堂上得到了验证。”这里的发达国家指的是…前苏联。

由于这部分的内容已经超出了我的能力范围，所以我也没法进行更深入的讨论。但是，就像业余球员也渴望能有机会和职业球员交手，作为一个数学以及数学教育的爱好者，我决心要向专业人士看齐。等我学习完这本《数学家讲解小学数学》，我准备整理出一门课程，就叫做《学数学家讲解小学数学》。

五、总结

最后总结一下本文的主要观点：

1、学习要重点理解各个概念之间的关联。

2、对于幼儿数学教育，思维训练比技巧训练重要，而追求熟练最不重要。

3、低层次的提前抢跑毫无意义。

4、孩子的学习主要依靠正规的学校教育，家长不用太焦虑。

5、数学是数学，杂技是杂技，报辅导班之前要搞清楚。

6、顶尖靠天赋；末尾不强求；方法得当，中等偏上。

7、资深玩家可以尝试数学家的教学法。

最最后，如果只剩一句话，我想对家长朋友们说：数学教育有它自己的规律，不着急，慢慢来。