哈密尔顿关于四元数的主要工作在他的《四元数讲义》(1853年)和去世后出版的两卷《四元数基础》(1866年)中有介绍。1943年爱尔兰政府为纪念四元数发表一百周年，特别发行了以他的头像为图案的邮票，并在都柏林的布鲁厄姆桥上立了一个石碑，上面写道：“1843年10月16日，当哈密尔顿爵士经过这里时，天才的闪光发现了四元数的乘法基本公式：i2=j2=k2=ijk=-1，他把这结果刻在了这桥的石柱上。”
在上面的定义之下，可以证明全体四元数成为一个环(即对加、减、乘法封闭的数系)，并且这是一个不交换的除环。后来，代数学家们又证明了：对于实数域上的n维向量空间，当n>2时，无法定义乘法运算使它成为数域(即对加、减、乘、除法封闭且多于一个元素的数系)。这就是我们只称二维数系统为复数域，而不再称其他n>2时的多元数为数域(仅称为超复数系统)的原因。
虽然当初四元数是扩展了复数a+bi的形式从纯数学的角度提出的，但是后来人们发现四元数的研究直接推动了向量代数的发展，导致在数论、群论、量子理论以及相对论等方面的广泛应用。例如，英国著名的物理学家麦克斯韦在掌握了四元数理论后，利用向量分析等工具建立起了著称于世的电磁理论。
回顾数系的历史发展，人们似乎获得了这样一种印象:数系的每一次扩张都是在旧的数系中添加新元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，虚数添加于实数。但是，由四元数的发现过程我们看到；数系的扩张并不仅仅是在旧的数系中添加新元素，而应该认为是在旧的数系之外构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它应该与原来的旧的数系是兼容的，用现代数学的话说，它包含一个与旧数系同构的子集。
数的概念的每一次扩展都为数学提供了新的方法和新的理论，从而也开辟了新的研究领域。
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