一、回顾参考

最近在数学教研QQ群一位老师发出的数学问题（及上图），当然不知发帖人是出于指导角度来引起大家的注意，还是出于探讨思考的角度希望得到参考的价值，总之随后就有一些老师参与讨论，我大致摘录归纳得出以下四种观点：

观点一：这道题看角度吧，两个半圆。

观点二：好像是一共滚10次，其中有3次A点未动，一共滚了以三角形边长为半径的7个120度的弧，也就是2个圆周长多120度的弧长。

观点三：滚一次就是9×2×3.14的3分之一 ，即是18.84，10次就是10个18.84，结果是188.4。

观点四：翻滚一次，路程走过1/3圆，1/3×2×π×9 ,等于6π，10次就是60π。

二、自主看法

虽然我的学识肤浅，教学不精，但是我还是很喜欢和大家一起思考数学问题。根据文字题意和图形的认知以及思维老师的答案，如果就此题的答案我比较同意观点乙的看法。

对于观点一的答案，不知是我没有理解清楚，还是他没有阐述清楚，我感觉好像不在边上。

对于观点三和观点四两位老师我感觉只是表述略有不同，意思是基本一致的，好像运用的规律存在问题。我们简单地看，似乎两人说的翻滚逻辑也对，但是仔细观察A点位移与三角形的滚动次数关系，翻滚一次是三分之一圆周长6π，而翻滚10次就是10个6π，用这样的公式来进行计算这道题显然是不对的。比如说把三角形原位置看成0次的基础上，三角形滚动第2次和第3次A点的位移并没有位移变化，第5次与第6次A点的位移也没有变化，第8次与第9次A点的位移还是没有变化。这就说当三角形翻滚3n次和（3n-1）次时A点的运动轨迹长度是一样的，所以观点三四的规律在本题中也是行不通的。

三、思维探讨

如果说我们把这道题作为一种题型进行探讨地话，那问题就不仅仅于此了。

思考一：本题翻滚的次数不算很多，学生完全可以运用直观画图的方法，然后数一数有多少个120度圆心角对的弧长，最后合并成圆周长计算，问题就会得到解决。假如说三角形翻滚的次数较多或者很多的时候，比如翻滚100次、1000次呢？很显然作图数一数就不适用了，那么就得去探讨一种解题思路。以及探索出解决这一类问题的公式思路才是最好的方法。

在此我们先梳理一下问题中的知识点：

（1）本题圆心角120度与整圆360度的倍比是3倍关系。

（2）本题圆心角120度所对应的弧长与整圆周长的倍比也是3倍关系。

（3）本题每逢翻滚次数是3的倍数次数时，A点回到原位置的形态，但在每一个循环中A点都只运动了2次，这里一定藏着一个数学规律在其中，这是本着数学规律性解决问题的思考。

前两个知识点大家都会考虑到，关键是第三个知识点的规律我们如何探讨并以此类推呢？这解决此类问题的关键所在，也就是本题中三角形每翻滚3次为就会有一个循环的形态存在，而每一个循环中A点却只移动2次，即2个120度圆心角所对的弧长。

我认为在整个循环翻滚中翻滚次数与循环次数会出现能够被3整除和不能被3整除的两种情况，其中不能整除的又分为余数是1和余数是2两种。

所以，本类题型的解题思路：

思路一：循环翻滚中翻滚次数能够被3整除的。

（1）翻滚次数÷3=循环次数，

（2）循环次数×2=移动了多少个120°圆心角个数，

（3）移动了多少个120°圆心角个数÷3=合并为圆的个数（除不尽用分数表示），

（4）合并为圆的个数×2πr=点A移动的路程长度。

综合公式：翻滚次数÷3×2÷3×2πr=点A移动的路程。

思路二：循环翻滚中翻滚次数不能够被3整除，有余数。（翻滚次数大于3次）

（1）翻滚次数÷3=循环次数……余数

（2）循环次数×2+余数=移动了多少个120°圆心角个数，

（3）移动了多少个120°圆心角个数÷3=合并为圆的个数（除不尽用分数表示），

（4）合并为圆的个数×2πr=点A移动的路程长度。

综合公式：（循环次数×2+余数）÷3×2πr=点A移动的路程。

由于本题滚动10属于循环有余数的情形，顾解题如下：

10÷3=3（次）……1（次），

（3×2+1）÷3×18π

=7÷3×18π

=42π

所以本题答案按π的通常值计算，A点所经过的路程为131.88厘米。

四、思维拓展

本题型还可以让学生拓展思考第一次绕A点翻滚和第一次不绕A点翻滚两种模型，即每翻滚一圈(3次）点A所走的路径是两个120度的圆弧，半径为9cm 如果第一次是绕A翻滚，10次后点A所走的途径是6个120度的圆弧，即2个圆周长。即A点所经过的路程为（36π）如果第一次不是绕A翻滚，10次后点A所走的途径是7个120度的圆弧，即2个圆周长+1个120度圆弧长。（42π）

也许有人看到这里可能认为我是多此一举，就那么一个问题说这么废话，还不一定完全正确。当然对于学生做题时来说，只需要答案正确不就行了吗？如果在考试时确实是那样的。但是对我们教师来说就不能那么简单了吧，我们不但要知道答案，还要懂得算法和算理，这就是俗话说的“不但要知其然，而且还要知其所以然”的道理。学习是无穷止尽的，探索是源于兴趣的开始。