动态规划（1）——背包问题

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_38410730/article/details/81667885

问题描述：

一个旅行者准备随身携带一个背包. 可以放入背包的物品有n 种, 每种物品的重量和价值分别为 w_j , v_{j .} 如果背包的最大重量限制是 b, 怎样选择放入背包的物品以使得背包的价值最大?**

图片.png
总体思路
根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
动态规划的原理
动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
背包问题的解决过程
在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。
1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；
2、寻找约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；
3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
• 包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
• 还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；
由此可以得出递推关系式：
• j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
• j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
这里需要解释一下，为什么能装的情况下，需要这样求解（这才是本问题的关键所在！）：
可以这么理解，如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式？
肯定是两种，第一种是第i件商品没有装进去，第二种是第i件商品装进去了。没有装进去很好理解，就是V(i-1,j)；装进去了怎么理解呢？如果装进去第i件商品，那么装入之前是什么状态，肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最优性原理（上文讲到），V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态，后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较，得出最优。
图片.png
代码实现:

def bag(n,c,w,v):
    # 置零，表示初始状态
    values =[ [0 for j in range(c+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,c+1):
            values[i][j]=values[i-1][j]
            if j>=w[i-1] and values[i][j]<values[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]:
                values[i][j]=values[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]
    for x in values:
        print(x)
    return values

背包问题最优解回溯
通过上面的方法可以求出背包问题的最优解，但还不知道这个最优解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：
• V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
• V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
• 一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。

•   def show(n, c, w, value):
    print('最大价值为:', value[n][c])
    x = [False for i in range(n)]
    j = c
    for i in range(n, 0, -1):
        if value[i][j] > value[i - 1][j]:
            x[i - 1] = True
            j -= w[i - 1]
    print('背包中所装物品为:')
    for i in range(n):
        if x[i]:
            print('第', i+1, '个,', end='')

运行结果为 图片.png