问题描述
2017-10-04 09-11-31 创建的截图.png 2017-10-04 09-17-03 创建的截图.png解题思路
2017-10-04 09-17-12 创建的截图.png递归程序实现
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=100;
int d[MAXN+1][MAXN+1];
int n;
int maxSum(int i,int j)
{
if(i==n) return d[n][j];
else
{
return max(maxSum(i+1,j),maxSum(i+1,j+1))+d[i][j];
}
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1; i<n+1; i++)
for(int j=1; j<i+1; j++)
cin>>d[i][j];
cout<<maxSum(1,1)<<endl;
}
运行结果
2017-10-04 09-34-06 创建的截图.png当n数目变大时,程序运行时容易超时!
为什么超时?
2017-10-04 09-37-16 创建的截图.png如果采用递归的方法,深度遍历每条路径,存在大量重复计算则时间复杂度为2的n次方,对于 n = 100时,肯定超时。
改进
2017-10-04 09-40-38 创建的截图.png记忆递归型动规程序实现
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=100;
int d[MAXN+1][MAXN+1];
int maxSum[MAXN+1][MAXN+1];
int n;
int MaxSum(int i,int j)
{
if(maxSum[i][j]!=-1) return maxSum[i][j];
if(i==n) {
maxSum[n][j]=d[n][j];
}
else {
maxSum[i][j]=max(MaxSum(i+1,j),MaxSum(i+1,j+1))+d[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1; i<n+1; i++)
for(int j=1; j<i+1; j++)
cin>>d[i][j];
memset(maxSum,-1,sizeof(maxSum));
cout<<MaxSum(1,1)<<endl;
}
运行结果
2017-10-04 09-49-31 创建的截图.png递归转递推
递归:函数调用,存在时间开销;递归次数多,栈可能会爆掉;不用递归,更快,更节省空间
2017-10-04 09-51-14 创建的截图.png 2017-10-04 09-51-21 创建的截图.png 2017-10-04 09-51-23 创建的截图.png 2017-10-04 09-51-26 创建的截图.png 2017-10-04 09-51-28 创建的截图.png......
2017-10-04 09-51-37 创建的截图.png
"人人为我"递推型动规程序实现
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=100;
int d[MAXN+1][MAXN+1];
int maxSum[MAXN+1][MAXN+1];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1; i<n+1; i++)
for(int j=1; j<i+1; j++)
cin>>d[i][j];
for(int i=1;i<n+1;i++)
maxSum[n][i]=d[n][i];
for(int i=n-1;i>0;i--)
for(int j=1;j<i+1;j++)
maxSum[i][j]=max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1])+d[i][j];
cout<<maxSum[1][1]<<endl;
}
运行结果
2017-10-04 10-02-16 创建的截图.png空间优化
没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推,那么只要一维数组maxSum[100] (滚动数组) 即可,即只要存储一行的MaxSum值就可以了
进一步考虑,连maxSum数组都可以不要,直接用D的第n行替代maxSum即可。节省空间,时间复杂度不变
空间优化程序实现
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=100;
int* maxSum;
int d[MAXN+1][MAXN+1];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1; i<n+1; i++)
for(int j=1; j<i+1; j++)
cin>>d[i][j];
maxSum=d[n];
for(int i=n-1;i>0;i--)
for(int j=1;j<i+1;j++)
maxSum[j]=max(maxSum[j],maxSum[j+1])+d[i][j];
cout<<maxSum[1]<<endl;
}
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