二项分布

wiki:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88

非严格定义:

假设实验A的结果有且仅有有0,1两种情况(如抛硬币,只有正反两种情况,其实这个例子也不严格,但是最为直观和接近的),为0的概率为p,那么为1的概率为1-p
,二项分布即表示进行多次实验A时,0,1的分布情况

解惑:

这是维基百科中给出的概率质量函数(就是在各随机变量取值的概率),解释下几个变量,假设要观察实验A的结果为1(或0)的概率,这个函数即为计算在n次实验中,结果为1的次数等于k的概率,其中p为单次实验中1发生的概率,其中(n/k)的是之前学的排列组合中的组合

PS:f(k=1,2,3,...n)的累加等于1,开始感觉不太能理解,不能和实际经验结合,后来想明白,进行n次实验,某指定的结果(例如1)出现次数只能是取值于0,1,2,3....n,每种次数对应的概率相加自然是1,通过简单的举例验证也可以得出这个结果,例如抛3次硬币,正常朝上可能出现的几种情况的对应的概率相加,即得1

在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上n/2个值。这是因为k > n/2时的概率可以从它的补集计算出

此处的值是指,只需要在实验结果1或0任选一个, 填写其{k|k=1,2,,3...n}的概率就可以,根据以上公式(较容易推导)即可计算出其补集的结果

这是二项分布的累积分布函数(Cumulative Distribution Function)

开始比较疑惑为什么可以通过累加得到其CDF,但如果想通以上概率质量函数累加得1,这里应该也就想的通了

二项分布的期望:

如果X~B(n,p)，那么X的期望值:E(X)=np

维基百科中给出的推导方式为：

这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为p，后者的概率为1 − p。该试验的期望值等于μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p

但其实这个方式我感觉完全无法认同，因为1和0仅仅是我们主观的用于表示二项分布的两种结果的两种符号，我们完全可以用1和-1,或者1和1000来表示，但取不同的值，算出来的期望并不相同，所以我感觉无法认同

下面是一种我可以理解的推导方式:
首先是两个预备公式:

PS:上面这个公式可自行验证

这个公式叫做二项式定理，用于计算a+b的n次方

假设实验结果为1的概率为p，实验结果为0的概率为q=(1-p)，得出二项分布的期望为:

根据上面第一个公式将期望公式转为:

再提取公共项:

最后再根据二项式定理，得出:E(X)=np(p+q)^n-1,因为p+q=1,所以得出E(X)=np

二项分布的方差:

关于期望,方差,协方差的关系,可参考http://blog.codinglabs.org/articles/basic-statistics-calculate.html

这篇文章中有一点我有一点纠结了很久,就是我中学曾经学过的方差计算方式是

而关于统计学中给出的都是

而最重要的问了一些大神，他们都说这两个是一样(为避免误导，说明一下，这里说的"一样"并不严格对等)的，我当时就一脸懵逼

分析一下:
期望E(x)的计算，我们可以理解，这里我们假设它为μ,展开公式则可得:

和中学学过的公式相比较，缺少一个1/n,多了一个p(x_i),其实这里的1/n就是p(x_i),中学的这个公式的一个隐含条件是假设所有的数出现的概率相同，也就是1/n

二项分布的方差为Var(x)=np(1-p)

下面是关于方差的证明：

方差的证明即是利用上述文章中说的Var(x)=E(x²)-(E(x))²证明在二项分布中Var(x)=np(1-p)

预备公式：

预备公式证明:

方差公式证明:

通过预备公式换算，并提取公共项np和n(n-1)p²可得:

在根据二项式定理得:

整理得：

根据期望计算得(E(x))²=(np)² 再代入Var(x)=E(x²)-(E(x))²,得出Var(x)=np+(np)²-np²-(np)²=np(1-p)

关于期望和方差的证明方法来自https://wenku.baidu.com/view/7038047d31126edb6f1a107a.html，并做了些修改