124. 二叉树中的最大路径和(leetcode)

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。
本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。
示例 1:
输入: [1,2,3]

       1
      / \
     2   3

输出: 6

示例 2:
输入: [-10,9,20,null,null,15,7]

   -10
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

输出: 42

考虑一条路径，可以从任意节点开始，每个节点最多经过一次，问经过的节点的和最大是多少。

思路

递归
首先看到二叉树的题，肯定就是想递归了。递归常规的思路，肯定是递归考虑左子树的最大值，递归考虑右子树的最大值。

public int maxPathSum(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return Integer.MIN_VALUE;
    }
    //左子树的最大值
    int left = maxPathSum(root.left);
    //右子树的最大值
    int right = maxPathSum(root.right);  
    //再考虑包含根节点的最大值
    int  all = ....;
    return Math.max(Math.max(left, right), all);
}

问题就来了，怎么考虑包含根节点的最大路径等于多少？因为我们递归求出来的最大 left 可能不包含根节点的左孩子，例如下边的情况。

     8
    / \
  -3   7
 /  \
1    4

左子树的最大值 left 肯定就是 4 了，然而此时的根节点 8 并不能直接和 4 去相连。所以考虑包含根节点的路径的最大值时，并不能单纯的用 root.val + left + right。
所以如果考虑包含当前根节点的 8 的最大路径，首先必须包含根结点的左右孩子，其次每次遇到一个分叉，就要选择能产生更大的值的路径。例如下边的例子：

      8
    /  \
   -3   7
 /    \
1      4
 \    / \    
  3  2   6

考虑左子树 -3 的路径的时候，我们有左子树 1 和右子树 4 的选择，但我们不能同时选择
如果同时选了，路径就是 ... -> 1 -> -3 -> 4 -> ... 就无法通过根节点 8 了
所以我们只能去求 -3 的左子树能返回的最大值，-3 的右子树能返回的最大值，选一个较大的
假设我们只考虑通过根节点 8 的最大路径是多少，那么代码就可以写出来了。

// 包含根结点的最大路径
public int maxPathSum(TreeNode root) {
    //如果最大值是负数，我们选择不选
    int left = Math.max(helper(root.left), 0);
    int right = Math.max(helper(root.right), 0); 
    return root.val + left + right;
}

int helper(TreeNode root) {
    // 递归出口， 一直计算到叶子结点的左右儿子 
    if (root == null) {
        return 0; 
    }
    int left = Math.max(helper(root.left), 0);
    int right = Math.max(helper(root.right), 0);  
    //选择左子树和右子树产生的值较大的一个
    return root.val + Math.max(left, right);
}

接下来我觉得就是这道题最精彩的地方了，现在我们只考虑了包含最初根节点 8 的路径。那如果不包含当前根节点，而是其他的路径呢？

可以发现在 helper 函数中，我们每次都求了当前给定的节点的左子树和右子树的最大值，和我们 maxPathSum 函数的逻辑是一样的。所以我们利用一个全局变量，在考虑 helper 函数中当前 root 的时候，同时去判断一下包含当前 root 的路径的最大值。

这样在递归过程中就考虑了所有包含当前节点的情况。

代码

int max = Integer.MIN_VALUE;

public int maxPathSum(TreeNode root) {
    helper(root);
    return max;
}

// 找到包含根结点的最大路径和
int helper(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }

    // left 路径的最大值和 0 比较，对于父节点而言，包含 left 结点的最大路径和为负数不如没有
    // 所以这个 left 的定义可以理解为对于父节点有用的最大路径
    int left = Math.max(helper(root.left), 0);
    int right = Math.max(helper(root.right), 0);
    
    // 求的过程中考虑包含当前根节点的最大路径
    max = Math.max(max, root.val + left + right);
    
    // 只返回包含当前根节点和左子树或者右子树的路径
    return root.val + Math.max(left, right);
}