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2019-03-29

2019-03-29

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-04-01 16:17 被阅读0次
  • 角度调制信号的频谱特性
  • s(t) = A_ccos[2\pi f_c t+\varphi(t)]，带通信号分析其频谱的关键是分析其复包络
    • s_{L}(t) = A_ce^{j\varphi(t)},其频谱是其傅氏变换
    • S_{L}(f) = F[ A_ce^{j\varphi(t)}] = A_c F[e^{j\varphi(t)}]
  • 单音调频
    • 所谓单音是说基带调制信号是一个单频的正弦波，即m(t) = A_mcos2\pi f_mt,用此进行FM调制，瞬时频率应与m(t)成正比
    • \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{d}{dt}\varphi(t) = K_f\cdot m(t)
  • 由此可以写出
    • \varphi(t) = 2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}m(\tau)d\tau = 2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}A_mcos2\pi f_m\tau d\tau
  • = \frac{ K_fA_m}{f_m}\cdot sin2\pi f_m\tau
  • s(t) = A_ccos[2\pi f_c t+\varphi(t)] = A_ccos[2\pi f_c t+\frac{ K_fA_m}{f_m}\cdot sin2\pi f_m\tau]
  • 此FM的最大频偏是K_f|m(t)|_{max} = K_fA_m
  • 调频指数是\beta = \frac{\Delta f_{max}}{f_m}= \frac{K_fA_m}{f_m}
  • FM信号s(t) =A_ccos[2\pi f_c t+\frac{ K_fA_m}{f_m}\cdot sin2\pi f_m\tau] = A_ccos[2\pi f_c t+\beta sin2\pi f_mt]
  • 其复包络为s_{L}(t) = A_ce^{j\beta sin2\pi f_m t}
  • 复包络的频谱是S_{L}(f) = A_cF[e^{j\beta sin2\pi f_m t}]
  • 注：e^{j\beta sin2\pi f_m t}是周期为T_m = \frac{1}{f_m}的周期信号
    • 故展开其傅里叶级数为
      • e^{j\beta sin(2\pi f_m t)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{j2\pi n f_mt}
  • 其傅氏变换是S_{L}(f)= A_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n \delta(f-nf_m)
  • c_n = \frac{1}{T_m}\int_{0}^{T_m}e^{j\beta sin2\pi f_m t}\cdot e^{-j2\pi n f_mt}dt
  • m = 2\pi f_m t
  • = \frac{1}{T_m}\cdot \frac{1}{2\pi f_m}\int_{0}^{2\pi f_mT_m}e^{j\beta sinm}\cdot e^{-jnm}dm
  • \frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}e^{j(\beta sin m-nm)}dm= J_{n}(\beta)
  • 其中J_n(\beta)是第一类n阶贝塞尔函数，当n为无穷大时，它会慢慢变为0
  • 傅里叶级数的展开式为e^{j\beta sin(2\pi f_m t)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(\beta)e^{j2\pi nf_m t}
  • 复包络的频谱为S_{L}(f)= A_c\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(\beta) \delta(f-nf_m)
  • 卡松公式
    • 前面单音调频的结果表明FM信号的频谱集中载频附近的一个范围
  • 角度调制的带宽近似计算公式
    • B \approx2(\Delta f_{max}+f_m)
    • B\approx 2f_m(\beta_f+1)
    • 此公式称为卡松公式
  • FM的抗噪声性能
  • 系统模型：基带信号m(t)是带宽为W的模拟基带信号，经过FM调制，之后为s(t) = A_ccos[2\pi f_c t+2\pi K_f\int_{-\infty}^t m(\tau) d(\tau)],叠加高斯白噪声n_w(t)后经过一个带通滤波器BPF，可以让s(t)无失真的通过，其带宽为2W(\beta_f+1),到达解调器的信号为r(t) = s(t)+n(t)，其中有用信号s(t)的功率P_R= \overline{s^2(t)} = \frac{A_c^2}{2},s(t)的最大频偏为\Delta f = K_f|m(t)|_{max},调频指数\beta_f = \frac{K_f|m(t)|_{max}}{W},n(t)是零均值窄带平稳高斯过程，其表达式为n(t) = n_c(t)cos2\pi f_ct - n_s(t)sin2\pi f_c t
    ，其中三者功率相同，E[n^2(t)] = E[n_c^2(t)] = E[n_s^2(t)] = N_0B，解调器输入信噪比(\frac{S}{N})_i = \frac{ \overline{s^2(t)}}{E[n^2(t)]} = \frac{P_R}{N_0B}
  • 噪声的功率谱密度
    • P_c(f) = P_s(f) = P_n(f-f_c)+P_n(f+f_c),|f|<f_c
  • 鉴频器：就是要获得信号的频率，现代基于数字处理的方法：根据I,Q的输入算出复包络的相位，然后做微分（差分）运算以获得瞬时频率。
    • 假设鉴频器是理想的，即输入信号的复包络是r_L(t) = A(t)e^{j\theta(t)}
    • 鉴频器的输出是u(t) = \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{d}{dt}\theta(t)
  • 系统是一个二入一出的非线性系统，二入指的是m(t),n_w(t),一出指的是y(t),非线性指的是y(t)不能简单叠加m(t)，n_w(t)输出之和
  • 在高信噪比条件下，此系统可以认为是线性系统，y(t)是两项之和：
    - 1、关掉噪声，即n_w(t) = 0形成有用信号输出
    - 2、关掉信号，即m(t) = 0形成噪声的输出
  • 针对关掉噪声输出信号功率
    • r_L(t) = A_ce^{j\theta(t)} = A_ce^{j 2\pi K_f\int_{-\infty}^t m(\tau)d\tau}
    • 鉴频的输出为u(t) = \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{d}{dt}\theta(t) = K_f m(t)
    • 由\beta_f = \frac{K_f|m(t)|_{max}}{W}可得K_f = \frac{\beta_fW}{|m(t)|_{max}}
    • 从而可以得到u(t) = K_fm(t) = \beta_fW\frac{m(t)}{|m(t)|_{max}} = \beta_fWm_n(t)
  • 输出信号的有用功率为S = (\beta_fW)^2P_{m_n} = \frac{(\beta_fW)^2}{C_m}
    • 其中C_m = \frac{1}{P_{m_n} } = \frac{|m(t)|^2_{max}}{\overline{m^2 (t)}}
    • C_m = \frac{1}{P_{m_n} }称为峰值比，m(t)的峰值功率与平均功率的比值，m(t)经过幅度归一化m_n(t)的功率P_{m_{n}}的倒数
  • 基带信号为0即m(t) = 0时输出噪声的功率
  • m(t) = 0，发送FM的信号为A_ccos[2\pi f_c t]
  • 鉴频器输入r(t)是s(t)与窄带噪声n(t)的叠加
    • r(t) = s(t)+n(t) = A_ccos[2\pi f_c t]+n_c(t)cos2\pi f_ct - n_s(t)sin2\pi f_c t
      r(t)的复包络是r_L(t) = A_c+n_c(t)+j\cdot n_s(t) == A_ce^{j\theta(t)}
    • 鉴频器的输出是u(t) = \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{d}{dt}\theta(t),其中\theta(t) = tan^{-1}\frac{n_s(t)}{A_c+n_c(t)}
    • A_c充分大时\theta(t) = \frac{n_s(t)}{A_c}
    • 于是鉴频器的输出为u(t) = \frac{1}{2\pi}\cdot \frac{d}{dt}\theta(t) = \frac{n_s^{'}(t)}{2\pi A_c}
    • 此信号通过截止频率为W的理想低通滤波器，最终输出的噪声功率是\frac{n_s^{'}(t)}{2\pi A_c}的功率谱密度\frac{P_{n_{s}}^{'}(f)}{(2\pi A_c)^2}在[-W,W]内的积分N = \frac{1}{(2\pi A_c)^2}\int_{-W}^WP_{n_{s}}^{'}(f)df
    • 微分是传递函数为j2\pi f的线性系统，n_s^{'}(t)的功率谱密度是n_s(t)的功率谱密度乘以|j2\pi f|^2,P_{n_{s}}^{'}(f) = (2\pi f)^2N_0
      输出噪声的功率N = \frac{2N_0W^3}{3A_c^2}
  • 两个结果相除即得到输出信噪比
  • (\frac{S}{N})_o = \frac{3\beta_f^2}{C_m}\cdot \frac{P_R}{N_0W}
  • 几种模拟信号抗噪声性能的比较
  • DSB-SC,(\frac{S}{N})_o = \frac{P_R}{N_0W}
  • SSB,(\frac{S}{N})_o = \frac{P_R}{N_0W}
  • AM,(\frac{S}{N})_o = \eta \frac{P_R}{N_0W}，\eta比1小很多
    FM,(\frac{S}{N})_o = \frac{3\beta_f^2}{C_m}\cdot \frac{P_R}{N_0W},\frac{3\beta_f^2}{C_m}往往比1大很多

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