平衡二叉树
平衡二叉搜索树是一种结构平衡的二叉搜索树，即叶节点高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。能在内完成插入、查找和删除操作，最早被发明的平衡二叉搜索树为AVL树。
平衡因子
节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。
最小不平衡子树
距离插入点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。
基本思想
在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因为插入而破坏了树的不平衡性，若是，则找到最小不平衡子树。在保持二叉排序特性的前提下，调整最小不平衡子树各结点之间的链接关系。进行相应的旋转,使其成为新的平衡子树。
结构
typdef struct BiTNode
{
struct BiTree *lc;
struct BiTree *rc;
int bf;
int data;
}BiTNode,*BiTree;
右旋操作
- P作为右旋的根节点;
- L的右子树成为了P的左子树;
- P成为了L的右子树;
- L替换了P成为二叉排序树新的根结点
void R_Rotate(BiTree *p){
BiTree L;
L = (*p)->lc;
(*p)->lc = L->rc;
L->rc = (*p);
}
左旋操作
- P作为左旋的根结点;
- R的左子树成为了P的右子;
- P成为了R的左子树;
- R替换了P成为二叉排序树新的根结点。
void L_Rotate(BiTree *p){
BiTree R;
R = (*p)->rc;
(*p)->rc = R->lc;
R->lc = (*p);
*p = R;
}
左平衡树失衡处理
void LeftBalance(BiTree *T){
BiTree L,Lr;
L = (*T)->lc;
switch(L->bf){
case LH:
(*T)->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(T);
case RH:
Lr = L->rc;
switch(Lr->bf){
case LH:
(*)T->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH:
(*T)->bf = EH;
L->bf = EH;
break;
case RH:
(*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&((*T)->lc));
R_Rotate(T);
}
}
右平衡树失衡处理
void RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R,Rl;
//1.R指向T的右子树根结点
R=(*T)->rc;
//2. 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理
switch(R->bf)
{
//① 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理
case RH:
(*T)->bf=R->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
//新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理
case LH:
//Rl指向T的右孩子的左子树根
Rl=R->lc;
//修改T及其右孩子的平衡因子
switch(Rl->bf)
{
case RH:
(*T)->bf=LH;
R->bf=EH;
break;
case EH:
(*T)->bf=R->bf=EH;
break;
case LH:
(*T)->bf=EH;
R->bf=RH;
break;
}
Rl->bf=EH;
//对T的右子树作右旋平衡处理
R_Rotate(&(*T)->rc);
//对T作左旋平衡处理
L_Rotate(T);
}
}
平衡二叉树的插入
若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。
- 如果T为空时,则创建一个新结点;
- 如果T不为空,判断是否存在相同的结点.如果二叉树中存在相同结点,则不需要插入;
- 如果新结点值e小于T的根结点值,则在T的左子树查找;
- 如果能在左子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
- 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
- 如果平衡因子是1,则说明左子树高于右子树,那么需要调用leftBalance进行左平衡旋转处理;
- 如果为0或者-1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;
- 如果新结点值e大于T的根结点值,则在T的右子树查找;
- 如果能在右子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
- 插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
- 如果平衡因子是-1,则说明右子树高于左子树,那么需要调用RightBalance进行右平衡旋转处理;
- 如果为0或者1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;
void InsertAVL(BiTree *T,int e, bool *taller){
if(!*T)
{ //1.插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE
//① 开辟一个新结点T;
*T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
//② 对新结点T的data赋值,并且让其左右孩子指向为空,T的BF值为EH;
(*T)->data=e;
(*T)->lc=(*T)->rchild=NULL;
(*T)->bf=EH;
//③ 新结点默认"长高"
*taller=TRUE;
}
else
{
if (e==(*T)->data)
{ //2.树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
*taller=FALSE;
return FALSE;
}
if (e<(*T)->data)
{
//3.应继续在T的左子树中进行搜索
if(!InsertAVL(&(*T)->lc,e,taller))
//未插入
return FALSE;
//4.已插入到T的左子树中且左子树“长高”
if(*taller)
//5.检查T的平衡度
switch((*T)->bf)
{
case LH:
//原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
LeftBalance(T);
*taller=FALSE;
break;
case EH:
//原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高
(*T)->bf=LH;
*taller=TRUE;
break;
case RH:
//原本右子树比左子树高，现左、右子树等高
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break;
}
}
else
{ //6.应继续在T的右子树中进行搜索
//未插入
if(!InsertAVL(&(*T)->rc,e,taller))
return FALSE;
//已插入到T的右子树且右子树“长高”
if(*taller)
// 检查T的平衡度
switch((*T)->bf)
{
//原本左子树比右子树高，现左、右子树等高
case LH:
(*T)->bf=EH;
*taller=FALSE;
break;
//原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高
case EH:
(*T)->bf=RH;
*taller=TRUE;
break;
// 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
case RH:
RightBalance(T);
*taller=FALSE;
break;
}
}
}
return TRUE;
}
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