主动变换vs被动变换

作者: cheerss | 来源:发表于2023-01-31 09:32 被阅读0次

面试题小集
主动VS被动
Homography｜单应性
彩色电影
数字图像处理-二
变换
变换
变换
【变换】
变换

一个旋转矩阵的功能 $R$ 可以有两种解释：

主动观点：坐标系不变， $R$ 的作用在空间中的任意点 $\vec{p}$ 上，使其在空间中进行一个旋转（即点主动发生了变换），旋转后点的实际位置（或者说在坐标系下的坐标）发生了变化
被动观点：空间中点的位置不变，但是坐标系发生了变化。 $R\vec{p}$ 的意思是求 $\vec{p}$ 在新坐标系下的坐标。

两种解释的关联是：
$R_{active} = R_{passive}^T$

原因

假设有两个坐标系A和坐标系B，为了简单期间，假设坐标系A的基就是单位矩阵（它的3个基向量分别是 $(1, 0, 0)$ ， $(0, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ ），而坐标系B的基是 $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ 。

那么，从主动变换的角度理解，A和B不称为坐标系，而是两种不同的姿态的描述
$R_{active} = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$

是坐标系不动，点从A姿态旋转到B姿态。即对某个点（向量） $\vec{p}$ 进行一个旋转，由于旋转都是对整个空间中的点同时进行的。特别地， $R_{active}$ 代表的含义是 $(1, 0, 0)$ 的点被“旋转”到 $\vec{e_1}$ ， $(0, 1, 0)$ 被“旋转”到 $\vec{e_2}$ ， $(0, 0, 1)$ 被“旋转”到 $\vec{e_3}$ 。那么任意点 $\vec{p}(x, y, z)$ 被旋转到了哪儿呢？自然就是 $p' = (x\vec{e_1}, y\vec{e_2}, z\vec{e_3})$ ，也就是 $p' = R_{active}\vec{p}$ 。

而如果从被动变换的角度理解，
$R_B^A = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$

也就是这个矩阵的作用求B坐标系下一个点的 $\vec{p}_B$ 在A坐标系中的坐标。例如： $\vec{p}_B = (1, 0, 0)$ 在A坐标系下的坐标就是 $R_B^Ap_B$ 。那如果是从A坐标系到B坐标系的转换呢？是
$R_A^B = (R_B^A)^T = (\vec{e_1}^T, \vec{e_2}^T, \vec{e_3}^T)^T = R_{passive}$

所以，从被动变换的角度理解， $R_{passive}$ 是点不动，把它在A坐标系下的坐标变换到B坐标系。

表示习惯

严格地来说， $R_A^B$ 有两种解释

从被动变换的角度解释， $R_A^B$ 是把某个点在A坐标系下的坐标转化为B坐标系下的坐标，即 $p_B = R_A^Bp_A = R_{passive}p_A$ 。
而从主动变换的角度讲，是把A当做点的初始朝向，要对点进行变换，让它转到B朝向下，也可以写作 $p_B = R_A^Bp_A = R_{active}p_A$ 。
但是！！一定要注意，两种解释中使用的符号相同，含义却完全不一样，其使用的旋转矩阵 $R$ 实际上互为逆矩阵（对于旋转矩阵而言，也就是互为转置）。

因此，对应 $p_B$ 也有两种解释

被动解释中的 $p_B$ 代表的是在B坐标系下的坐标，它和 $p_A$ 是空间中同一个点在两个不同坐标系下的度量。
主动解释代表的是把 $p_A$ 点进行旋转转到了 $p_B$ 这个位置，两者是同一个坐标系下的两个点。

本文上述一直用的被动变换下的表示，即认为 $R_A^B$ 代表把某个点在A坐标系下的坐标转化为B坐标系下的坐标， $p_A$ 和 $p_B$ 是空间中同一个点在两个不同坐标系下的度量。

总结

$(R_{active})_A^B = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}) = (R_{passive})_B^A$
上述公式解读为， $(R_{active})_A^B$ 把A位姿的点旋转到B位姿，或者是 $(R_{passive})_B^A$ 把B坐标系下的点坐标转化为A坐标系下的坐标，两者用的是同一个旋转矩阵。

$(R_{passive})_A^B = (\vec{e_1}^T, \vec{e_2}^T, \vec{e_3}^T)^T = (R_{active})_B^A$ 上述公式解读为， $(R_{passive})_A^B$ 把A坐标系的点坐标转换为B坐标系下的坐标，或者是 $(R_{active})_B^A$ 把点从B位姿旋转到A位姿，两者用的是同一个旋转矩阵。