120. 三角形最小路径和

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题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/triangle

题目

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给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

解题思路

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思路：递归，动态规划

首先先看题目中的提示，【相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点】。

我们设 f(i, j) 为点 (i, j) 到底部的最小路径和。现在根据上面这个提示，可以很容易得到公式：

f(i, j) = min(f(i+1, j), f(i+1, j+1)) + triangle[i][j]

也就是说，要求的路径和为：取当前结点相邻的两个结点最小值，加上当前结点的值。

递归

先尝试使用递归的方法求解，根据上面的公式，直接贴上代码：

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        return self.path(triangle, 0, 0)
    
    def path(self, triangle, i, j):
        # 设置终止条件
        if i == len(triangle):
            return 0
        
        # 直接使用公式
        return min(self.path(triangle, i+1, j), self.path(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j]

上面的代码执行超时，因为进行了大量的重复计算，现在考虑进行优化。

递归（优化）

在这里，采用建立备忘录的方法，避免重复的计算，同样这里贴上代码：

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        # 备忘录
        memo = {}
        
        def path(triangle, i, j):
            # 设置终止条件
            if i == len(triangle):
                return 0

            if (i, j) in memo:
                return memo[(i, j)]

            memo[(i, j)] = min(path(triangle, i+1, j), path(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j]

            # 直接使用公式
            return min(path(triangle, i+1, j), path(triangle, i+1, j+1)) + triangle[i][j]
        
        return path(triangle, 0, 0)

上面的方法都是自顶向下的，现在我们尝试使用动态规划，实现自底向上求解。

动态规划

使用动态规划的解法，先进行状态定义。

状态定义

设 dp[i][j] 为点 (i, j) 到底部的最小路径和。

状态转移方程

同样的，我们根据最开始得出的公式，可以得到状态转移方程为：

dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]

具体代码实现见【代码实现 # 动态规划】

动态规划（空间优化）

上面的动态规划算法中，我们定义的是一个二维数组。当我们计算 dp[i][j] 的时候，用到的是下一行的 dp[i+1][j] 和 dp[i+1][j+1]。那我们可以直接考虑从底部往上，定义一个一维数组。

具体代码实现见【代码实现 # 动态规划（空间优化）】

代码实现

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# 动态规划
class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        m = len(triangle)

        dp = [[0] * (m+1) for _ in range(m+1)]

        for i in range(m-1, -1, -1):
            for j in range(0, i+1):
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
        
        return dp[0][0]

# 动态规划（空间优化）
class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        m = len(triangle)

        dp = [0] * (m+1)

        for i in range(m-1, -1, -1):
            for j in range(0, i+1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j+1]) + triangle[i][j]
        
        return dp[0]

实现结果

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动态规划（优化前）

动态规划 动态规划|空间优化

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