【行列式】3、特殊行列式的计算

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-01-13 16:07 被阅读0次

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一、知识点

例1.对角行列式

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ & a_{22} && \\ & & \ddots &\\ &&&a_{nn} \end{array}\right|$ 未写出的为0，这个行列式称为对角行列式。

$D=a_{11}A_{11}= a_{11}\left| \begin{array}{cccc} a_{22}&& \\ &\ddots& \\ &&a_{nn} \end{array} \right| =a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$

例2.三角行列式

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & & \\ a_{21} & a_{22} & \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ a_{n1}&a_{n2}&&a_{nn} \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ & a_{22} &\cdots&a_{2n} \\ & & \ddots &\vdots \\ &&&a_{nn} \end{array}\right|$ =a₁₁a₂₂...a_nn

分别称为下三角行列式和上三角行列式，统称为三角行列式。

例3.

$\left|\begin{array}{cccc} x & y &0& & \\ 0 & x & y&\ddots &\\ & \ddots&\ddots &\ddots&0& \\ \vdots &&\ddots &x&y&0\\ 0&&&0&x&y \\ y&&\cdots&&0&x \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc} x & y && & \\ & x & y& &\\ & &\ddots &\ddots&& \\ &&&x&y&\\ &&&&x&y \\ &&&&&x \end{array}\right|$ + $(-1)^{n+1}y\left|\begin{array}{cccc} y && & \\ x & y& &\\ &\ddots &\ddots&& \\ &&x&y&\\ &&&x&y \\ \end{array}\right|$ = $x^n+(-1)^{n+1}y^{n}$

例4.

$D_{2n}=\left|\begin{array}{cccc} a&&&&&&&b \\ & a& &&&&b&\\ & &\ddots &&&{\cdot^{\cdot^{\cdot}}} \\ &&&a&b&\\ &&&c&d& \\ &&{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}&&&\ddots\\ &c&&&&&d&\\ c&&&&&&&d\\ \end{array}\right| =a \left|\begin{array}{cccc} a& &&&&b&0\\ &\ddots &&&{\cdot^{\cdot^{\cdot}}} \\ &&a&b&\\ &&c&d& \\ &{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}&&&\ddots\\ c&&&&&d&\\ 0&&&&&&d\\ \end{array}\right|+(-1)^{2n+1}b\left|\begin{array}{cccc} 0 & a& &&&&b\\ & &\ddots &&&{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}& \\ &&&a&b\\ &&&c&d \\ &&{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}&&&\ddots&\\ &c&&&&&d\\ c&&&&&&0\\ \end{array}\right|$

用第一行展开。
第一个按 $r_{2n-1}$ 展开，第二个按 $c_{1}$ 展开:
$D_{2n}=adD_{2n-2}-bcD_{2n-2}=(ad-bc)D_{2n-2}$

所以： $D_{2n-2}=(ad-bc)D_{(2n-2)-2}$

$D_{2n}=(ad-bc)(ad-bc)D_{2n-4}=(ad-bc)^2D_{2(n-2)}$
$=\cdots=(ad-bc)^{n -1}D_{2(n-(n-1))}=(ad-bc)^{n-1}D_{2}$

$D_{2}=ad-bc$
$D_{2n}=(ad-bc)^{n}$

二、练习

练习：
$\left|\begin{array}{cccc} & &&a_{1n}\\ & & a_{2(n-1)}&a_{2n} \\ & {\cdot^{\cdot^{\cdot}}}& &\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{n(n-1)}&a_{nn} \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots &a_{1(n-1)}&a_{1n}\\ a_{21} &\cdots & a_{2(n-1)}& \\ \vdots & {\cdot^{\cdot^{\cdot}}}& & \\ a_{n1}&&& \end{array}\right|$

= $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)\cdots a_{n1}}$

统称为斜三角行列式

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