10大排序算法
◼ 以上表格是基于数组进行排序的一般性结论
◼ 冒泡、选择、插入、归并、快速、希尔、堆排序，属于比较排序（Comparison Sorting）
1.冒泡排序（Bubble Sort）
◼ 冒泡排序也叫做起泡排序
◼ 执行流程（升序）
① 从头开始比较每一对相邻元素，如果第1个比第2个大，就交换它们的位置
✓ 执行完一轮后，最末尾那个元素就是最大的元素
② 忽略 ① 中曾经找到的最大元素，重复执行步骤 ①，直到全部元素有序
static void bubbleSort1(Integer[] arr) {
//外循环为排序趟数，如果数组中有n个元素，则执行n-1趟
for (int end = arr.length-1; end > 0; end--) {
//begin [1..length-1]
for (int begin = 1; begin <= end; begin++) {
if (arr[begin] < arr[begin - 1]) {
int tmp = arr[begin];
arr[begin] = arr[begin - 1];
arr[begin-1] = tmp;
}
}
}
}
冒泡排序 – 优化①
◼ 如果序列已经完全有序，可以提前终止冒泡排序
static void bubbleSort(Integer[] arr) {
for (int end = arr.length-1; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int begin = 1; begin <= end; begin++) {
if (arr[begin] < arr[begin - 1]) {
int tmp = arr[begin];
arr[begin] = arr[begin - 1];
arr[begin-1] = tmp;
//如果没有来到内循环，证明是序列有序的
sorted =false;
}
}
if (sorted) break;
}
}
冒泡排序 – 优化②
◼ 如果序列尾部已经局部有序，可以记录最后1次交换的位置，减少比较次数
static void bubbleSort(Integer[] arr) {
for (int end = arr.length-1; end > 0; end--) {
// sortedIndex的初始值在数组完全有序的时候有用
int sortedIndex = 1;
for (int begin = 1; begin <= end; begin++) {
if (arr[begin] < arr[begin - 1]) {
int tmp = arr[begin];
arr[begin] = arr[begin - 1];
arr[begin-1] = tmp;
//记录最后1次交换的位置，序列尾部已经局部有序
sortedIndex = begin;
}
}
end = sortedIndex;
}
}
◼ 最坏、平均时间复杂度：O(n^2)
◼ 最好时间复杂度：O(n)
◼ 空间复杂度：O(1)
排序算法的稳定性（Stability）
◼ 如果相等的2个元素，在排序前后的相对位置保持不变，那么这是稳定的排序算法
◼ 对自定义对象进行排序时，稳定性会影响最终的排序效果
◼ 冒泡排序属于稳定的排序算法（内循环用的是比较用的是 <）
原地算法（In-place Algorithm）
◼ 何为原地算法？
不依赖额外的资源或者依赖少数的额外资源，仅依靠输出来覆盖输入
空间复杂度为 O(1) 的都可以认为是原地算法
◼ 非原地算法，称为 Not-in-place 或者 Out-of-place
◼ 冒泡排序属于 In-place
2.选择排序（Selection Sort）
◼ 执行流程
① 从序列中找出最大的那个元素，然后与最末尾的元素交换位置
✓ 执行完一轮后，最末尾的那个元素就是最大的元素
② 忽略 ① 中曾经找到的最大元素，重复执行步骤 ①
static void selectSort(Integer[] arr) {
for (int end = arr.length-1; end > 0; end--) {
int maxIndex = 0;
for (int begin = 1; begin <= end; begin++) {
if (arr[maxIndex] < arr[begin]) {
//记录较大元素的索引
maxIndex = begin;
}
}
//每轮内循环结束，获取最大的元素的索引，与end位置元素交换位置
int tmp = arr[maxIndex];
arr[maxIndex] = arr[end];
arr[end] = tmp;
}
}
◼ 选择排序的交换次数要远远少于冒泡排序，平均性能优于冒泡排序
◼ 最好、最坏、平均时间复杂度：O(n^2)，空间复杂度：O(1)，属于不稳定排序
例如：
初始序列: 7 5 10a 10b 2a 4 2b
第一躺选择排序： 7 5 2b10b 2a 4 10a
3.堆排序（Heap Sort）
private int heapSize;
@Override
protected void sort() {
//原地建堆
heapSize = arr.length;
for (int i = (heapSize >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
while (heapSize > 1) {
// 交换堆顶元素和尾部元素
swap(0, --heapSize);
// 对0位置进行siftDown（恢复堆的性质）
siftDown(0);
}
}
/**
* 让index位置的元素下滤
* @param index
*/
private void siftDown(int index) {
Integer element = arr[index];
//完全二叉树的性质：非叶子结点个数 n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )
int half = heapSize >> 1;
// 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量
// index < 第一个叶子节点的索引
// 必须保证index位置是非叶子节点
while (index < half) {
// index的节点有2种情况
// 1.只有左子节点
// 2.同时有左右子节点
// 默认为左子节点跟它进行比较
int childIndex = (index << 1) + 1;
Integer child = arr[childIndex];
// 右子节点
int rightIndex = childIndex + 1;
// 选出左右子节点最大的那个
if (rightIndex < heapSize && comparable(arr[rightIndex], child) > 0) {
child = arr[childIndex = rightIndex];
}
if (comparable(element, child) >= 0) break;
// 将子节点存放到index位置
arr[index] = child;
// 重新设置index
index = childIndex;
}
arr[index] = element;
}
◼ 最好、最坏、平均时间复杂度：O(nlogn)，空间复杂度：O(1)，属于不稳定排序
4.插入排序（Insertion Sort）
◼ 插入排序非常类似于扑克牌的排序
◼ 执行流程
① 在执行过程中，插入排序会将序列分为2部分
✓ 头部是已经排好序的，尾部是待排序的
② 从头开始扫描每一个元素
✓ 每当扫描到一个元素，就将它插入到头部合适的位置，使得头部数据依然保持有序
//外循环执行多少趟
for (int begin = 1; begin < arr.length; begin++) {
//记录索引
int cur = begin;
while (cur > 0 && cmp(cur, cur -1) < 0) {
//交换
swap(cur, cur - 1);
cur --;
}
}
插入排序 – 逆序对（Inversion）
◼ 什么是逆序对？
数组 <2,3,8,6,1> 的逆序对为：<2,1> <3,1> <8,1> <8,6> <6,1>，共5个逆序对
◼ 插入排序的时间复杂度与逆序对的数量成正比关系
逆序对的数量越多，插入排序的时间复杂度越高
◼ 最坏、平均时间复杂度：O(n^2)
◼ 最好时间复杂度：O(n)
◼ 空间复杂度：O (1)
◼ 属于稳定排序
◼ 当逆序对的数量极少时，插入排序的效率特别高
甚至速度比 O nlogn 级别的 速排序还要快
◼ 数据量不是特别大的时候，插入排序的效率也是非常好的
插入排序 – 优化
◼ 思路是将【交换】转为【挪动】
① 先将待插入的元素备份
② 头部有序数据中比待插入元素大的，都朝尾部方向挪动1个位置
③ 将待插入元素放到最终的合适位置
//外循环执行多少趟
for (int begin = 1; begin < arr.length; begin++) {
//记录索引
int cur = begin;
//记录要插入的数据
E v = arr[cur];
while (cur > 0 && cmp(v, arr[cur -1]) < 0) {
//挪动
arr[cur] = arr[cur - 1];
cur --;
}
arr[cur] = v;
}
二分搜索（Binar y Search）
◼ 如何确定一个元素在数组中的位置？（假设数组里面全都是整数）
如果是无序数组，从第 0 个位置开始遍历搜索，平均时间复杂度：O(n)
如果是有序数组，可以使用二分搜索，最坏时间复杂度：O(logn)
思路
◼ 假设在 [begin, end) 范围内搜索某个元素 v，mid == (begin + end) / 2
◼ 如果 v < m，去 [begin, mid) 范围内二分搜索
◼ 如果 v > m，去 [mid + 1, end) 范围内二分搜索
◼ 如果 v == m，直接返回 mid
示例
public static int indexOf(int[] arr, int v) {
if (arr == null || arr.length == 0) return -1;
int begin = 0;
int end = arr.length;
while (begin < end) {
int mid = (begin + end) >> 1;
if (v < arr[mid]) {
end = mid;
}else if (v > arr[mid]) {
begin = mid + 1;
}else {
return mid;
}
}
return -1;
}
如果存在多个重复的值，返回的是哪一个？
✓ 不确定
插入排序 – 二分搜索优化
◼ 在元素v的插入过程中，可以先二分搜索出合适的插入位置，然后再将元素 v 插入
◼ 要求二分搜索返回的插入位置：第1个大于
v 的元素位置如果
v 是 5，返回 2如果
v 是 1，返回 0如果
v 是 15，返回 7如果
v 是 8，返回 5
优化 – 思路
◼ 假设在 [begin, end) 范围内搜索某个元素 v，mid == (begin + end) / 2
◼ 如果 v < m，去 [begin, mid) 范围内二分搜索
◼ 如果 v ≥ m，去 [mid + 1, end) 范围内二分搜索
优化 – 实例
@Override
protected void sort() {
//外循环执行多少趟
for (int begin = 1; begin < arr.length; begin++) {
insert(begin, search(begin));
}
}
/**
* 将source位置的元素插入到dest位置
* @param source
* @param dest
*/
private void insert(int source, int dest) {
E v = arr[source];
for (int i = source; i > dest; i--) {
arr[i] = arr[i - 1];
}
arr[dest] = v;
}
/**
* 利用二分搜索找到 index 位置元素的待插入位置
* 已经排好序数组的区间范围是 [0, index)
* @param index
* @return
*/
private int search(int index) {
int begin = 0;
int end = index;
while (begin < end) {
int mid = (begin + end) >> 1;
if (cmp(arr[index], arr[mid]) < 0) {
end = mid;
} else {
begin = mid + 1;
}
}
return begin;
}
5.归并排序（Merge Sort）
◼ 1945年由约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）首次提出
◼ 执行流程
① 不断地将当前序列平均分割成2个子序列
✓ 直到不能再分割（序列中只剩 个元素）
② 不断地将2个子序列合并成一个有序序列
✓ 直到最终只剩下1个有序序列
归并排序 – divide实现
private E[] leftArr;
@Override
protected void sort() {
leftArr = (E[]) new Comparable[arr.length >> 1];
sort(0, arr.length);
}
// T(n) = T(n/2) + T(n/2) + O(n)
/**
* 对 [begin, end) 范围的数据进行归并排序
*/
private void sort(int begin,int end) {
//数组中只有一个元素
if (end - begin < 2) return;
int mid = (begin + end) >> 1;
sort(begin, mid);
sort(mid, end);
merge(begin,mid,end);
}
归并排序 – merge
归并排序 – merge细节
归并排序 – merge – 左边先结束
归并排序 – merge – 右边先结束
/**
* 将 [begin, mid) 和 [mid, end) 范围的序列合并成一个有序序列
*/
private void merge(int begin,int mid,int end) {
int li = 0, le = mid - begin;
int ri = mid, re = end;
int ai = begin;
for (int i = li; i < le; i++) {
leftArr[i] = arr[begin + I];
}
// 如果左边还没有结束
while (li < le) {
if (ri < re && cmp(arr[ri], leftArr[li]) < 0) {
arr[ai++] = arr[ri++];//拷贝右边数组到array
}else {
arr[ai++] = leftArr[li++];//拷贝左边数组到array
}
}
}
归并排序 – 复杂度分析
◼ 归并排序花费的时间
◼ 由于归并排序总是平均分割子序列，所以最好、最坏、平均时间复杂度都是 O(nlogn) ，属于稳定排序
◼ 从代码中不难看出：归并排序的空间复杂度是 O(n/2 + logn) = O(n)
n/2 用于临时存放左侧数组，logn 是因为递归调用
常见的递推式与复杂度
6.快速排序（Quick Sort）
◼ 1960年由查尔斯·安东尼·理查德·霍尔（Charles Antony Richard Hoare，缩写为C. A. R. Hoare）提出
昵称为东尼·霍尔（Tony Hoare）
快速排序 – 执行流程
① 从序列中选择一个轴点元素（pivot）
✓ 假设每次选择 0 位置的元素为轴点元素
② 利用 pivot 将序列分割成 2 个子序列
✓ 将小于 pivot 的元素放在pivot前面（左侧）
✓ 将大于 pivot 的元素放在pivot后面（右侧）
✓ 等于pivot的元素放哪边都可以
③ 对子序列进行 ① ② 操作
✓ 直到不能再分割（子序列中只剩下1个元素）
◼ 快速排序的本质
逐渐将每一个元素都转换成轴点元素
快速排序 – 轴点构造
快速排序 – 时间复杂度
◼ 在轴点左右元素数量比较均匀的情况下，同时也是最好的情况
T( n) = 2 ∗ T (n/2) + O( n) = O(nlogn)
◼ 如果轴点左右元素数量极度不均匀，最坏情况
T (n) = T(n − 1) + O(n) = O(n^2)
◼ 为了降低最坏情况的出现概率，一般采取的做法是
随机选择轴点元素
◼ 最好、平均时间复杂度：O(nlogn)
◼ 最坏时间复杂度：O(n2)
◼ 由于递归调用的缘故，空间复杂度：O(logn)
◼ 属于不稳定排序
左右节点数量极度不均匀
@Override
protected void sort() {
sort(0,arr.length);
}
/**
* 对 [begin, end) 范围的元素进行快速排序
* @param begin
* @param end
*/
private void sort(int begin,int end) {
if ((end - begin) < 2) return;
// 确定轴点位置 O(n)
int mid = pivotIndex(begin, end);
// 对子序列进行快速排序
sort(begin,mid);
sort(mid + 1,end);
}
/**
* 构造出 [begin, end) 范围的轴点元素
* @return 轴点元素的最终位置
*/
private int pivotIndex(int begin,int end) {
//随机交换begin位置的元素
swap(begin, begin + (int)Math.random() * (end - begin));
E pivot = arr[begin];
// end指向最后一个元素
end --;
while (begin < end) {
while (begin < end) {
if (cmp(pivot, arr[end]) < 0) {// 右边元素 > 轴点元素
end --;
}else {
arr[begin++] = arr[end];
break;
}
}
while (begin < end) {
if (cmp(pivot, arr[begin]) > 0) {// 左边元素 < 轴点元素
begin ++;
}else {
arr[end--] = arr[begin];
break;
}
}
}
// 将轴点元素放入最终的位置
arr[begin] = pivot;
// 返回轴点元素的位置
return begin;
}
快速排序 – 与轴点相等的元素
◼ 如果序列中的所有元素都与轴点元素相等，利用目前的算法实现，轴点元素可以将序列分割成 2 个均匀的子序列
◼ 思考：cmp 位置的判断分别改为 ≤、≥ 会起到什么效果？
◼ 轴点元素分割出来的子序列极度不均匀
导致出现最坏时间复杂度 O(n^2)
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