动态规划之最长公共子序列

问题描述

给定两个字符串，求解两个字符串的最长公共子序列。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB，则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

算法求解

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）
为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）
2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)
因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

代码求解

public class LCSLength {
    public static void lcsLength(int m,int n, char[] x,char[] y,int[][]c,int[][]b){
        int i,j;
        for(i=1;i<=m;i++)c[i][0]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)c[0][j]=0;
        for(i=1;i<=m;i++){
            for(j=1;j<=n;j++){
                if(x[i]==y[j]){
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; //两个字符串的最后一个字母相同，根绝递推式得到此关系
                    b[i][j]=1; //用b[i][j]记录是哪一种情况，后面在构造最长公共字串有用
                }
                   // 两个字符串最后一个字母不相同的情乱
                else if(c[i-1][j]>c[i][j-1]){
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                    b[i][j]=2;
                }
                else{
                    c[i][j]=c[i][j-1];
                    b[i][j]=3;
                }
            }
        }
        System.out.println(c[m][n]);
        
    }
   //构造最长公共字串
    public static void LCS(int i,int j,char[]x,int[][]b){
        if(i==0||j==0) return;
        if(b[i][j]==1){
            LCS(i-1,j-1,x,b);
            System.out.print(x[i]+" ");
        }
        else if(b[i][j]==2)
            LCS(i-1,j,x,b);
        else 
            LCS(i,j-1,x,b);
    }
    public static void main(String[] args){
        char[] x = {'0','A','B','C','B','D','A','B'};
        char[] y = {'0','B','D','C','A','B','A'};
        int[][] c = new int[x.length][y.length];
        int[][] b = new int[x.length][y.length];
        lcsLength(7,6,x,y,c,b);
        LCS(7,6,x,b);
    }
}