什么是微积分？微积分就是想让复杂的问题变得简单的一个方法。世界比我们想象得复杂得多，比如说这个杯子的形状，不是一个简单的形状，它很复杂。如果我们只用简单的平面几何、立体几何，是无法计算清楚的。但是微积分就有办法让它简单化，这个过程就是微积分的总体思路。它的方法是什么呢？就是把复杂的问题切分成多个简单的部分，切分到什么程度？到无穷的程度。
如果你脑子里边能稍微加入一点点想象力，加入一个无穷的概念，就能立刻理解微积分是怎么回事。我举一个例子，您一定知道古人很想研究圆。因为古人的测量都是为了分地，那个地未必都是方的，有时候会有那种弧形的、圆形的，所以古人就想了解圆到底应该怎么算。
周长大家比较容易了解，周长就是我做一个圆形的饼，我拿一根绳子绕着它这么转一圈，然后把这个绳子拿出来一量，就知道这个圆的周长了。所以基本上古人是可以测量得出一个圆的周长的。那怎么测量这个圆的面积？不能用绳子去测量圆的面积，所以我们就必须得发现圆的面积公式。
大家学过周长的公式，叫作π×d。πd是怎么算出来的呢？把周长测出来，然后把直径测出来，用周长除以直径，得到的数就是π，所以π就是圆周率。那你有没有想过为什么面积会是πr²，而不是πd²？这就是微积分的思想。你想象这是一个圆，我想知道它的面积，怎么办呢？你想象像切西瓜一样，沿着它的中心，切成一牙一牙的西瓜。然后你把它掰开，上半截就变成了一个向下的锯齿，下半截就变成了一个向上的锯齿。然后你把上半截和下半截对在一块儿，成了一个什么形状呢？类似于一个长方形。
但是这个长方形的上边不是一条直线，而是一个一个的弧度。那假如你把这个西瓜切到非常薄，薄到极限，那个弧度是不是就变成了一个一个的点？用弧度构成的这条边，是不是就变成了一条趋近于直线的东西？
这时候你发现，圆如果可以被切到无穷块，那它将会成为一个相当标准的矩形。请问这个矩形的高是多少呢？是半径。那个长的一边呢？是二分之一个周长，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr吗？再乘以半径，得出是πr²。现在大家知道πr²是怎么来的了吗？就是通过切分想象出来的。所以古人能通过切分到无穷的程度，想象出来这么一个构造，解决了测量圆面积的问题，这就是微积分的思想。
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